Somma di una serie di funzioni

[CosenTheta]

Sto tentando di dimostrare che

$S = \sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} (\frac{1}{n + z} + \frac{1}{n + 1 - z}) = \frac{\pi}{sin(\pi z)}$

ma senza successo.

Ho pensato, mediante alcuni passaggi algebrici, di semplificare il termine generico della serie per arrivare a qualcosa di noto, ma non sono giunto ad alcuna conclusione.

Distinguendo tra $n$ pari ($n -> 2n$) ed $n$ dispari ($n -> 2n - 1$):

$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} + \frac{1}{2n + 1 - z} -(\frac{1}{2n - 1 + z} + \frac{1}{2n - z})$

Riordinando i termini si ha che:

$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$
$= \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \sum_{n=0}^{infty}\frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$

ma a questo punto non saprei come continuare. Non so neanche se sia utile questa "scomposizione".

Idee?
Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Si può provare mediante il teorema di Mittag - Leffler.

[CosenTheta]

Non avendo mai né visto né utilizzato questo teorema al corso di metodi matematici, ho provato ad applicare il teorema in solitaria, ma non senza difficoltà.

L'enunciato è il seguente:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $f(z)$ una funzione meromorfa con (infiniti) poli semplici nei punti $0 < |z_{1}| < |z_{2}| < ...$ con residui $B_{1},B_{2},B_{3},...$ e $C_{N}$ una circonferenza di raggio $R_{N}$ contenente i primi $N$ poli. Se vale la condizione

$lim_{N -> infty} \max_{|z| = R_{N}} (\frac{|f(z)|}{R_{N}}) = 0$

allora $f(z)$ è esprimibile in serie secondo la formula

$f(z) = f(0) + \sum_{n=1}^{infty} (\frac{B_{n}}{z_{n}} + \frac{B_{n}}{z - z_{n}})$

Anzitutto, determino i poli di $f(z)$:

$\sin(\pi z) = 0 \<=> \pi z = \pi n \<=> z = n$
Ossia i poli di $f$, che risultano essere semplici, sono tutti i numeri interi.
Di conseguenza, è rispettata anche la condizione per cui $0 < |z_{1}| < |z_{2}| < ...$, trattandosi banalmente di moduli di valori sull'asse reale.

A questo punto, per calcolare il residuo in ogni punto $z = n$ applico la relazione:

$Res(f,n) = \frac{A(n)}{B'(n)} = \frac{\pi}{\pi \cos(\pi n)} = (-1)^{n}$, termine che rappresenterebbe il $B_{N}$ della serie del teorema e che ritrovo anche nell'espressione della serie da dimostrare.

A questo punto, ci sono due punti che non riesco a svolgere:

1) Non ho proprio idea di come si dimostri la condizione $lim_{N -> infty} \max_{|z| = R_{N}} (\frac{|f(z)|}{R_{N}}) = 0$. Qualche idea di svolgimento?

2) Nella tesi del teorema è richiesto il valore $f(0)$; tuttavia, essendo $0$ un intero, è anche un polo per la funzione $f$, di conseguenza non posso calcolare il valore richiesto. Come si procede in questo caso?

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

Non avendo mai né visto né utilizzato questo teorema al corso di metodi matematici

In effetti gli sviluppi in serie di Mittag-Leffler spesso non vengono trattati, se n'è discusso ad esempio qui.
Comunque, in alternativa al buon suggerimento che ti ha già dato Sergeant Elias, è possibile pervenire al medesimo risultato facendo buon uso dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $cos(zx) $ con $x \in (−\pi,pi) $
Dopo un po' di calcoli dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:

$ cos(zx) = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}+\frac{\cos(1x)}{1^2-z^2}-\frac{\cos(2x)}{2^2-z^2}+\frac{\cos(3x)}{3^2-z^2}-\cdots] = $
$ = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}-\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{cos(nx)}{n^2 - z^2}] $

Ponendo $x = 0 $ si ottiene:

$\frac{\pi}{ sin(\pi z)} = 1/z - 2z \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 - z^2} $

[anonymous_0b37e9]

Nel frattempo completo la mia risposta.

1) Non ho proprio idea di come si dimostri la condizione ...

$[z=R_N(cos\theta+isin\theta)] ^^ [sin\piz=(e^(i\piz)-e^(-i\piz))/(2i)] rarr$

$rarr \pi/(sin\piz)=(2\piie^(-\piR_Nsin\theta+i\piR_Ncos\theta))/(e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1) rarr$

$rarr |\pi/(sin\piz)|=(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|) rarr$

$rarr lim_(R_N->+oo)|\pi/(sin\piz)|/R_N=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)$

Caso 1: $sin\theta gt 0$

$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=0$

Caso 2: $sin\theta lt 0$

$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_Ne^(-2\piR_Nsin\theta)|1-e^(2\piR_Nsin\theta-i2\piR_Ncos\theta)|)=$

$=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(\piR_Nsin\theta))/(R_N|1-e^(2\piR_Nsin\theta-i2\piR_Ncos\theta)|)=0$

Caso 3: $sin\theta=0$

$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=lim_(R_N->+oo)(2\pi)/(R_N|e^(+-i2\piR_N)-1|)=0$

2) Nella tesi del teorema è richiesto il valore ...

Basta considerare la funzione sottostante:

$g(z)=\pi/(sin\piz)-1/z$

che gode della stessa proprietà di cui sopra.

[CosenTheta]

Ringrazio entrambi per le esaustive risposte.