Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 04/04/2020, 13:53

Sia \( f \in L^p(\mathbb{R} \) e \( 1 \leq p < \infty \) dimostra che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - f(x) \right|^p dx = 0 \]

La mia idea è questa.
Per il teorema dell'approssimazione per funzioni lisce abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( g_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]

Quindi
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x) - g_{\epsilon}(x) \right|^pdx \leq \epsilon \]

Inoltre vale anche
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right|^pdx \leq \epsilon \]
Siccome effettuare un cambiamento di variabiale \( x = x + \epsilon \) non cambia l'integrale.

Dunque ora dobbiamo dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \]
Sia \( \operatorname{supp}(g_{\epsilon}) \subset [a,b] \) e \( 0 < \epsilon < 1 \)
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p= \int_{a- 2 \epsilon }^{b+2 \epsilon} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \]
Ora mi piacerebbe utilizzare il teorema della convergenza dominata. Ma le ipotesi da verificare sono le seguenti:
Innanzitutto poniamo
\[ g^{\epsilon}(x):= \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right| \]
In primo luogo devo avere che \( g^{\epsilon} \in L^1 (a,b) \), la cosa non è un problema poiché le funzioni continue sono
\( L ^1 \) e \( g_{\epsilon} \) è continua, inoltre credo che se \( g_{\epsilon} \) è \( L^1 \) allora \( \left| g_{\epsilon} \right| \) è \( L^1 \). Pertanto siccome \( L^1 \) è uno spazio vettoriale ed è stabile rispetto alla somma abbiamo che \( g^{\epsilon} \in L^1 \).
In più \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } g^{\epsilon}(x) = 0 \]
dunque \( g^{\epsilon} \) converge puntualmente a \( 0 \).
Ora dovrei verificare che \( \left| g^{\epsilon} \right| \leq 0 \) cosa falsa...
Come faccio a dimostrare che
\[ \int_{\mathbb{R}} \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p dx \leq \epsilon \] ??

Oppure ho mal interpretato l'ipotesi che la successione dev'essere dominata nel teorema della convergenza dominata? Cioé posso dominarla anche per qualcosa d'altro ?
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 04/04/2020, 14:10

Comunque si è facile dire che se \( f \in L^p \) allora \( \left| f \right| \in L^p \) siccome abbiamo che \( f \in L^p \) allora per definizione \( \left( \int \left| f \right|^p \right)^{1/p} < \infty \) che è equivalente a dire \( \left| f \right| \in L^p \).
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda Bremen000 » 04/04/2020, 14:14

3m0o ha scritto:[...]
Ora dovrei verificare che \( \left| g^{\epsilon} \right| \leq 0 \) cosa falsa...
[...]

Eh?

3m0o ha scritto:[...]
Oppure ho mal interpretato l'ipotesi che la successione dev'essere dominata nel teorema della convergenza dominata? Cioé posso dominarla anche per qualcosa d'altro ?


Mi sa di si, metti qui l'enunciato che usi.

Comunque forse il tutto si può risolvere anche con il Teorema di Lusin, senza usare la densità di \( C^{\infty}_c(\mathbb{R}) \) in $L^p(\mathbb{R})$ che è un po' un cannone e sfrutta la struttura specifica di $\mathbb{R}$ (si sono un po' fissato...).

3m0o ha scritto:Comunque si è facile dire che se \( f \in L^p \) allora \( \left| f \right| \in L^p \) siccome abbiamo che \( f \in L^p \) allora per definizione \( \left( \int \left| f \right|^p \right)^{1/p} < \infty \) che è equivalente a dire \( \left| f \right| \in L^p \).

Corretto.
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 04/04/2020, 14:17

Siano per \( n \in \mathbb{N} \) , \( f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) (edit ->) misurabili e \( g \in L^1(\mathbb{R} ) \) tale che
i) \( \forall n \), \( \left| f_n \right| \leq g \) quasi ovunque
ii) \( (f_n) \) converge puntualmente quasi ovunque
Allora
\[ \lim_{n\to \infty } \int f_n = \int g \]


Edit:
Ma a sto punto credo il prof abbia sbagliato e la conclusione corretta è
\[ \lim_{n\to \infty } \int f_n = \int \lim_{n\to \infty } f_n \]
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda Bremen000 » 04/04/2020, 14:27

Concordo con L’edit. È un altro teorema di scambio limite-integrale, come ti dicevo!
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 04/04/2020, 14:38

Allora questa dominazione dovrebbe andare bene!

\[ \left| g^{\epsilon} \right| = \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \leq \left| \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right| + \left| g_{\epsilon}(x) \right| \right|^p \leq \left| 2 \max_{x \in [a-2 \epsilon,b+ 2 \epsilon]}\{g_{\epsilon}(x+\epsilon),g_{\epsilon}(x) \} \right|^p \leq 2^p \left| \max_{x \in \operatorname{supp}(g) } \{ g_{\epsilon} \} \right|^p < \infty \]

L'altro non conoscevo
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda Bremen000 » 04/04/2020, 15:46

Ci sono alcune cosine che non funzionano perfettamente. Per ogni $a >0$ definisco la mappa $\tau_{a}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come
\[ \tau_{a}(x) = x+a, \quad x \in \mathbb{R}.\]
Quello che l'esercizio ci chiede di dimostrare è che, se $p \in [1, + \infty)$ e $f \in L^p(\mathbb{R})$, allora
\[ \lim_{a \downarrow 0} \|f\circ \tau_{a} - f\|_p =0.\]
Cioè, per definizione di limite, che
\[ \forall \, \epsilon >0 \quad \exists \, \delta_{\epsilon}>0 \text{ t.c. } 0 < a < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \|f \circ \tau_a -f\|_p < \epsilon \]
Fissiamo $\epsilon >0$.
Per ora tu hai fatto vedere che esiste \( g_{\epsilon} \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \|f \circ \tau_{a} - f \|_p \le \|f\circ \tau_{a} - g_{\epsilon} \circ \tau_{a} \|_p + \|f-g_{\epsilon}\|_p + \|g_{\epsilon}-g_{\epsilon} \circ \tau_{a}\|_p \le \frac{2}{3} \epsilon + \|g_{\epsilon}-g_{\epsilon} \circ \tau_{a}\|_p. \]
Quindi, come dici giustamente tu, manca da far vedere che
\begin{equation} \tag{1} \forall \, \epsilon >0 \quad \exists \, \delta_{\epsilon}>0 \text{ t.c. } 0 < a < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \|g_{\epsilon} \circ \tau_a -g_{\epsilon}\|_p < \epsilon/3 \end{equation}
Chiamiamo, circa come fai tu
\[ g^a_{\epsilon}(x) := |g_{\epsilon}(x+a) - g_{\epsilon}(x)|^p.\]
La $(1)$ è quindi equivalente a far vedere che
\[ \lim_{a \downarrow 0} \int_{\mathbb{R}} g^a_{\epsilon}(x) dx =0.\]
Per applicare il teorema della convergenza dominata devi far vedere due cose
1) Per quasi ogni $x \in \mathbb{R}$ vale \( \lim_{a \downarrow 0} g^a_{\epsilon}(x) =0\).
2) Esiste $G_{\epsilon} \in L^1(\mathbb{R})$ tale che \( g^a_{\epsilon}(x) \le G_{\epsilon}(x) \) per quasi ogni $x \in \mathbb{R}$ e ogni $a >0$.

Il tuo tentativo per la 1) è questo:
3m0o ha scritto:[...]
In più \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } g^{\epsilon}(x) = 0 \]
dunque \( g^{\epsilon} \) converge puntualmente a \( 0 \).
[...]

Ma devi stare attento che quando muovi $\epsilon$ stai muovendo anche la $g_{\epsilon}$, insomma è meglio dividere il ruolo di $\epsilon$ da quello di $a$.

Mentre per il 2) hai scritto che:

3m0o ha scritto:[...]\[ \left| g^{\epsilon} \right| = \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \leq \left| \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right| + \left| g_{\epsilon}(x) \right| \right|^p \leq \left| 2 \max_{x \in [a-2 \epsilon,b+ 2 \epsilon]}\{g_{\epsilon}(x+\epsilon),g_{\epsilon}(x) \} \right|^p \leq 2^p \left| \max_{x \in \operatorname{supp}(g) } \{ g_{\epsilon} \} \right|^p < \infty \]
[...]

Eh però la cosa che trovi dipende da $\epsilon$, quindi non va bene. Per questo è meglio separare $\epsilon$ e $a$.

Infine, due cose assolutamente minori che però mi va di sottolinearti:

1. Spesso ti troverai ad applicare il Teorema della Convergenza dominata non a successioni di funzioni \( \{f_n\}_{n \ge 1} \) come nell'enunciato del teorema, ma piuttosto a famiglie \( \{ f_{a}\}_{a >0} \) indicizzate da un parametro continuo. Ti sei chiesto perché il teorema funziona lo stesso?

2. Il Teorema di Lusin, al quale accennavo prima, è uno strumento meno raffinato dell'approssimazione con funzioni \( C^{\infty}_c(\mathbb{R}) \) ma che vale molto più in generale e sostanzialmente ti dice la stessa cosa però con le funzioni continue: Sia $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione misurabile nulla al di fuori di un insieme di misura finita $A$. Allora, per ogni $\epsilon >0$, esiste un compatto $K_{\epsilon} \subset A$ tale che \(g_{\epsilon} := f |_{K_{\epsilon}} \) è continua e la misura di $A \setminus K_{\epsilon}$ è minore di $\epsilon$. Da qua puoi tirare fuori la densità di \( C_c(\mathbb{R}) \) in $L^p(\mathbb{R})$ e la dimostrazione che accenno sopra vale quindi pari pari (la derivabilità di $g_{\epsilon}$ non serve a nulla.).
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 05/04/2020, 14:36

Quindi va bene come ho fatto io solo che devo distinguere \( \epsilon \) ed \( a \) ?

\[ \left| g^{a}_{\epsilon}(x) \right| = \left| g_{\epsilon}(x+a) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \leq \left| \left| g_{\epsilon}(x+a) \right| + \left| g_{\epsilon}(x) \right| \right|^p \leq \left| 2 \max_{x \in [a-2 a,b+ 2 a]}\{\left|g_{\epsilon}(x+a)\right|,\left|g_{\epsilon}(x)\right| \} \right|^p \leq 2^p \left| \max_{x \in \operatorname{supp}(g) } \{ \left|g_{\epsilon}(x) \right| \} \right|^p =2^p \begin{Vmatrix} g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{C^0(\mathbb{R})}^p \chi_{\operatorname{supp}(g)}(x) \in L^1(\mathbb{R} ) \]


Per il teorema della convergenza dominata con il parametro che appartiene al continuo lo abbiamo visto a corso.
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda Bremen000 » 05/04/2020, 14:53

Perfetto!
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Re: Teorema convergenza dominata e approssimazione liscia

Messaggioda 3m0o » 05/04/2020, 15:02

Mi stavo domandando però se si potesse evitare di aggiungere la \( \chi_{\operatorname{supp}(g)}(x) \). Al di fuori del supporto compatto la \( g_{\epsilon}^a \) è nulla e va bene. Ma l'integrale su \( \mathbb{R} \) di \(
2^p \begin{Vmatrix} g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{C^0(\mathbb{R})}^p \) non è finito poiché è una costante positiva quindi non è \( L^1 \), mentre aggiungendo la \( \chi_{\operatorname{supp}(g)}(x) \) diviene \( L^1 \) ?
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