da Silent » 04/04/2020, 14:18
Scusami se torno con una nuova domanda, sempre sullo stesso argomento. Evito di aprire una nuova discussione.
Il libro che sto leggendo mi propone un esempio, che ora io riscriverò qui sotto usando un pò più di notazione matematica e specificando bene tutti i passaggi logici, per accertarmi di aver capito bene. Ti chiedo per favore solo di darmi una conferma su ciò che leggerai.
Consideriamo l'insieme di tutte le funzioni continue, definite su tutto l'asse reale, cioè \(\displaystyle \{f| f\in C^{(0)}(\mathbb{R},\mathbb{R})\} \). Su questo insieme definiamo delle relazioni di equivalenza \(\displaystyle \sim_a \) dicendo che:
\(\displaystyle f\sim_a g \Leftrightarrow \) esiste un intorno \(\displaystyle U(a) \) del punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) in cui \(\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in U(a) \).
Una generica classe di equivalenza generata da \(\displaystyle \sim_a \) la chiamiamo germe nel punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) e la indichiamo con \(\displaystyle f_a \), dove \(\displaystyle f \) è un qualsiasi rappresentante della classe. Chiamiamo \(\displaystyle X \) l'insieme di tutti i possibili germi in tutti i possibili punti di \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Detto questo, allora prendendo il generico intorno \(\displaystyle U_\mathbb{R}(a) \) del punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), possiamo definire il corrispondente generico intorno \(\displaystyle U_{X}(f_a) \) di un germe \(\displaystyle f_a\in X \) come l'insieme dei germi \(\displaystyle f_x \), con \(\displaystyle x \in U_\mathbb{R}(a) \) (germi generati dalla stessa funzione \(\displaystyle f \), come sottolinea la notazione usata).
Chiamando \(\displaystyle \mathcal{B} \) l'insieme di tutti i possibili intorni \(\displaystyle U_X(f_a) \) di tutti i possibili germi \(\displaystyle f_a \), in tutti i possibili punti \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), possiamo dire che \(\displaystyle \mathcal{B} \) costituisce una base per una topologia in \(\displaystyle X \).
In particolare, quando si dice che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base, senza specificare la topologia per cui dovrebbe esserlo, si sta pensando a \(\displaystyle \tau = \) tutte le possibili unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \).
E' tutto corretto?