Campo elettrostatico distribuzioni continue

[TS778LB]

Detto $ \vecr_0 $ il vettore che individua la posizione di un punto $ P $ , ed $ \vecr $ quello individuante la posizione di $ dq $, per i campi prodotti da distribuzioni volumiche, superficiali e lineari di carica si ha:
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\tau\rho(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}d\tau $
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\Sigma\sigma(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}d\Sigma $
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\lambda\lambda(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}dl $.
Quando ne esprimo le coordinate cartesiane opero le sostituzioni $ \d\tau=dxdydz $, $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $ ma le funzioni di densità continuano ad essere funzioni delle tre variabili $ x,y,z $. Ad esempio
$ E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\Sigma\sigma(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}dxdy $
Questo non significherebbe integrare solo su x e y non comprendendo la dipendenza di $ \sigma $ e di $ \vecr $ da z?

[Silent]

Stai pensando al caso di distribuzioni di cariche superficiali e non di volume? In quel caso ti sei perso una delta di Dirac.

[TS778LB]

Penso alle superficiali e lineari perchè in quelle volumiche il $dxdydz$ mi garantisce che le variabili di integrazione siano tutte e tre le coordinate in cui si calcola il valore della funzione di densità. Negli altri due casi mi viene il dubbio esposto prima. Preciso che non ho nozioni di Analisi 2! E' possibile una spiegazione che risolva il mio dubbio senza ricorrere a tali basi?

[Silent]

Puoi pensare semplicemente ad una distribuzione lineare di carica come una funzione \(\displaystyle \sigma(z) \) e non \(\displaystyle \sigma(x,y,z) \). Dunque, una sola integrazione, una sola variabile da saturare.

[TS778LB]

Quindi basterebbe fissare un riferimento in cui la distribuzione si sviluppi solo in un piano o in un asse in modo da eliminare la dipendenza dalla terza variabile (nel primo caso) o dalle altre due (nel secondo)?

[Silent]

Sì, in linea di principio è così.

[TS778LB]

Quando ne esprimo le coordinate cartesiane opero le sostituzioni $ \d\tau=dxdydz $, $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $

Forse è qui che sbaglio! Imporre $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $ significa considerare il caso particolare di superficie piana e linea retta contestualizzate in riferimenti in cui il piano xy coincide con la distribuzione superficiale e in cui l'asse x coincide con quella lineare.
Nel caso più generale avevo pensato di esprimere il $ \dl$ in questo modo:
$ dl=sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $
Il che mi porterebbe a:
$ E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\l\lambda(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $
E' corretto formalmente?
Se si come si può esprimere $ \d\Sigma $ in coordinate cartesiane?