Insieme misurabile.

[3m0o]

1) Sia \( A \) un insieme misurabile con \( \operatorname{mes}(A) < \infty \). Dimostra che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \operatorname{mes}((A+\epsilon) \setminus A) = 0 \]
2) Dimostra che è falso se \( \operatorname{mes}(A) = \infty \)
3) Dimostra che è falso se \( A \) non è misurabile.

Per il punto 2) le soluzioni considerano
\[ A:= \bigcup_{n=1}^{\infty} (n,n+1/2) \]
e per ogni \( 0 < \epsilon < 1/2 \) dicono che
\[ (A+ \epsilon) \setminus A = \bigcup_{n=1}^{\infty} [n+1/2, n+1/2 + \epsilon) \]
Ora sono un po' confuso e non capisco il motivo. Infatti se non erro
\[ A + \epsilon =\bigcup_{n=1}^{\infty} (n+ \epsilon,n+1/2+ \epsilon) \]
inoltra abbiamo che
\[ (A+ \epsilon) \setminus A = \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} (n+ \epsilon,n+1/2+ \epsilon) \right) \setminus \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} (n,n+1/2) \right) \]
\[ \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} ((n+ \epsilon,n+1/2+ \epsilon)) \setminus (n,n+1/2) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (n+1/2,n+\epsilon+1/2) \]
Ma l'altra inclusione?

[3m0o]

Che scemo gli \(A_n:= (n,n+1/2) \) e gli \(A_n + \epsilon= (n+\epsilon , n+\epsilon +1/2) \) sono disgiunti a due a due per ogni \(n,k \), \( A_n \cap A_k = \emptyset \).

[Bremen000]

Fai un disegno, vedrai che lo vedi immediatamente! Se vuoi farlo super rigorosamente osserva che
\[ A : \bigcup_{n \ge 1} B_n , \quad B_n := (n,n+1/2) \]
che tutti i $B_n$ sono disgiunti a coppie e che
\[ A + \epsilon = \bigcup_{n \ge 1} B_n + \epsilon = \bigcup_{n \ge 1} (B_n + \epsilon) \]
e che anche tutti i $B_n + \epsilon$ sono disgiunti. Quindi
\[ A + \epsilon \setminus A = \bigcup_{n \ge 1} (B_n + \epsilon) \setminus A_n = \bigcup_{n \ge 1} (n+1/2, n+1/2 + \epsilon).\]