Basi in spazi topologici

[solaàl]

Hai definito una base per una topologia sullo spazio \(\coprod_{t\in\mathbb R} C^0_t\), dove \(C^0_t\) è l'insieme dei germi di funzioni nel punto \(t\); questa si chiama la
spiga del fascio \(C^0\) nel punto \(t\):

\(C^0\) è un fascio, ossia una coppia di funzioni che manda un aperto \(U\) di \(\mathbb R\) nell'insieme delle funzioni continue \(U\to \mathbb R\), e tale che ogni volta ch
e due aperti \(V\subseteq U\) stanno uno dentro l'altro, ogni funzione \(f : U \to \mathbb R\) dia luogo, per restrizione, a una funzione \(f|_V : V \to \mathbb R\). In più, \(C^0\) soddisfa i seguenti due assiomi:

1. Per ogni aperto \(U\) di \(\mathbb R\), e per ogni ricoprimento aperto \((U_i \mid i\in I)\), se due funzioni \(f,g : U \to \mathbb R\) sono tali che \(f|_{U_i} =g|_{U_i}\), ossia se \(f,g\) coincidono su ogni elemento del ricoprimento, allora \(f = g\) su tutto \(U\) (questo, se ci pensi, è ovvio).
2. Per ogni aperto \(U\) di \(\mathbb R\) e per ogni ricoprimento aperto \((U_i\mid i\in I)\), se \(f_i : U_i \to \mathbb R\) è una funzione continua, e se per ogni \(i,j\in I\) vale che \(f_i|_{U_i\cap U_j} = f_j|_{U_i\cap U_j}\), allora esiste una funzione \(f : U \to \mathbb R\) tale che \(f|_{U_i} =f_i\) (anche questo è ovvio: come definisci \(f\)? Ti ricordi come si definisce una soluzione massimale di una ODE?)

Se sei proprio testardo, puoi dimostrare che la prima richiesta equivale a domandare che una certa funzione sia iniettiva; la seconda, che quella stessa funzione sia surietti
va. Qual è questa funzione?

Ora.

L'insieme \(C^0_t\) dei germi di funzioni in \(t\in\mathbb R\) ora non è altro che la spiga del fascio \(C^0\) nel punto \(t\), ossia il limite diretto
\[
\varinjlim_{U\ni t} C^0(U)
\] perché questo limite consta esattamente del quoziente \(\coprod_{U\ni t} C^0(U)\) per la reazione di equivalenza che hai scritto.

Ora, l'insieme \(\coprod_{t\in\mathbb R} C_t^0\) che risulta facendo l'unione disgiunta di tutte le spighe ha una mappa naturale \(p\) verso lo spazio \(\mathbb R\), e la base di una topologia che stai definendo rende \(p\) continua; in effetti, puoi divertirti a dimostrare che \(p\) è un omeomorfismo locale (se non sai la definizione: significa che ogni punto \(t\in\mathbb R\) ha un intorno \(F_t\) tale che \(p\), coristretta a \(F_t\), sia un omeomorfismo.)

In più, ogni omeomorfismo locale (in effetti ogni funzione continua sopra lo spazio \(\mathbb R\) \(p : E \to \mathbb R\) definisce naturalmente un fascio: il fascio delle sezioni di \(p\)): si manda un aperto \(U\) di \(\mathbb R\) nell'insieme di quelle \(s : U \to E\) continue e tali che \(ps=1_U\). Mostra che questo è un fascio. E poi mostra che il fascio delle sezioni di \(p_{C^0}\), come l'hai costruito sopra, è esattamente il fascio \(C^0\). Mostra che vale anche il viceversa: dato uno spazio \(p : E \to \mathbb R\) sopra \(\mathbb R\), il suo fascio delle sezioni ha uno spazio etalé (così si chiama lo spazio \(\coprod_{t\in \mathbb R} C^0_t\) topologizzato nel modo che hai detto), e la topologia che hai definito lo rende omeomorfo allo spazio \(E\) da cui eri partito.

Ora, dimosta queste stesse identiche cose per uno spazio topologico qualsiasi.

[Silent]

Allora, provo a seguirti piano piano...

Hai definito una base per una topologia sullo spazio \( \coprod_{t\in\mathbb R} C^0_t \), dove \( C^0_t \) è l'insieme dei germi di funzioni nel punto \( t \); questa si chiama la spiga del fascio \( C^0 \) nel punto \( t \)

Sì, \( \coprod_{t\in\mathbb R} C^0_t \) è l'insieme che io ho indicato con \(\displaystyle X \).

C0 è un fascio, ossia una coppia di funzioni che manda un aperto U di R nell'insieme delle funzioni continue U→R, e tale che ogni volta che due aperti V⊆U stanno uno dentro l'altro, ogni funzione f:U→R dia luogo, per restrizione, a una funzione f|V:V→R. In più, C0 soddisfa i seguenti due assiomi:

Non ho capito perché 'una coppia di funzioni', ma per il resto se non sto capendo male \(\displaystyle C^0 \) è sempre il mio \(\displaystyle X \).

1. Per ogni aperto U di R, e per ogni ricoprimento aperto (Ui∣i∈I), se due funzioni f,g:U→R sono tali che f|Ui=g|Ui, ossia se f,g coincidono su ogni elemento del ricoprimento, allora f=g su tutto U (questo, se ci pensi, è ovvio).

Sì, ma non capisco perché parli di 'assiomi', stiamo definendo qualche concetto ancora più primitivo? Perché altrimenti queste dovrebbero essere delle proprietà che derivano dalla definizione di funzione e di ricopertura di un insieme.

2. Per ogni aperto U di R e per ogni ricoprimento aperto (Ui∣i∈I), se fi:Ui→R è una funzione continua, e se per ogni i,j∈I vale che fi|Ui∩Uj=fj|Ui∩Uj, allora esiste una funzione f:U→R tale che f|Ui=fi (anche questo è ovvio: come definisci f? Ti ricordi come si definisce una soluzione massimale di una ODE?)

Chi è qui \(\displaystyle f_j \)? Comunque credo di aver capito cosa intendi qui. Anche se di nuovo, non capisco bene perché questo deve essere considerato un assioma.


Magari faccio un attimo una pausa a questo punto, così posso chiarirmi le premesse e poi continuare a leggere il resto del messaggio che mi hai scritto.

[vict85]

In termini generali, quando si dice che un insieme è una base di una topologia, senza dire quale, si intende che esiste una topologia di cui quest'ultima è una base. Questo viene fatto quando si ha in mente un insieme di aperti fondamentali e si desidera lavorare su di loro (seppur questi non formino una topologia). Da questo punto di vista, è spesso utile il concetto di prebase.

[Silent]

Ottimo, quindi questo:

In particolare, quando si dice che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base, senza specificare la topologia per cui dovrebbe esserlo, si sta pensando a \(\displaystyle \tau = \) tutte le possibili unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \).

non è vero.
Grazie.

[vict85]

Ottimo, quindi questo:

In particolare, quando si dice che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base, senza specificare la topologia per cui dovrebbe esserlo, si sta pensando a \(\displaystyle \tau = \) tutte le possibili unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \).

non è vero.
Grazie.

No, si intende proprio quella topologia. Ovvero la più piccola topologia di cui quell'insieme sia una base.

[Silent]

Allora non ho capito...
Se si dice che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base per una topologia, senza specificare quale, allora sicuramente (avendo almeno specificato l'insieme \(\displaystyle X \) da voler equipaggiare di una struttura topologica) \(\displaystyle X\subseteq \bigcup\mathcal{B} \).
Questo è giusto?

Se sì, allora anche un qualunque sottoinsieme di "tutte le possibili unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \)", purché sia tale da poter ancora ricoprire \(\displaystyle X \), è una topologia valida.

PS: in tutto questo discorso, sto ovviamente pensando a una base in questo senso:

1. \(\displaystyle \forall B\in\mathcal{B} (B\neq \emptyset) \);
2. \(\displaystyle \forall B_1,B_2\in\mathcal{B} \exists B\in\mathcal{B} \) tale che \(\displaystyle B\subseteq B_1\cap B_2 \).

altrimenti non c'è mai garanzia che l'assioma di spazio topologico sulle intersezioni sia rispettato.

[solaàl]

Una "coppia di funzioni" è un modo per non dire funtore. Se però preferisci: \(C^0 : O(\mathbb R) \to \sf Set\) è un funtore controvariante, se \(O(\mathbb R)\) ha per oggetti gli aperti di R, e dove c'è un morfismo \(U\to V\) se e solo se \(V\subseteq U\).

Un tale funtore non è un oggetto soprannaturale: è una coppia di funzioni, appunto, una definita sugli oggetti, che ad ogni aperto di R associa un insieme \(C^0(U)\) (proprio l'insieme delle funzioni continue il cui dominio è $U$) e ad ogni inclusione \(V \subseteq U\) associa una funzione di insiemi \(C^0(U) \to C^0(V)\) che restringe $f$ a una funzione definita solo su $V$.

\(C^0\) è un esempio di fascio, ossia un funtore \(S : O(\mathbb R) \to \sf Set\) che soddisfa quelli che ho chiamato assiomi. Gli elementi di \(C^0U)\), le sezioni del fascio con supporto in $U$, sono funzioni, e quindi soddisfano gli assiomi di fascio per le ragioni che hai detto: derivano dal fatto che due funzioni sono uguali se coincidono su ogni punto.

La definizione astratta di fascio è la seguente: un fascio su uno spazio topologico $E$ è un funtore controvariante \(S : O(E) \to \sf Set\) tale che

1. Per ogni aperto \(U\) di \(E\), e per ogni ricoprimento aperto \((U_i \mid i\in I)\), se due sezioni \(f,g \in U\) sono tali che \(f|_{U_i} =g|_{U_i}\), ossia se \(f,g\) coincidono su ogni elemento del ricoprimento, allora \(f = g\) come elementi di $SU$;
2. Per ogni aperto \(U\) di \(E\) e per ogni ricoprimento aperto \((U_i\mid i\in I)\), se \(f_i \in SU_i\) è una sezione, per ogni \(i\in I\), e se per ogni \(i,j\in I\) vale che \(f_i|_{U_i\cap U_j} = f_j|_{U_i\cap U_j}\), allora esiste una sezione \(f \in SU\) tale che \(f|_{U_i} =f_i\).

Devi chiamarli assiomi, ora, perché le sezioni di $S$ non sono più necessariamente funzioni; sono elementi astratti di un insieme $SU$ che dipende funtorialmente da $U$, ossia vengono date "restrizioni" astratte \(r_{UV} : SU \to V\) che soddisfano gli assiomi che ho scritto.

L'intuizione che devi avere per questi oggetti è duplice:

a. Un fascio è una famiglia di insiemi variabile con continuità, parametrizzata dagli aperti di uno spazio topologico; in tale prospettiva, un fascio sul punto è circa un insieme, o più formalmente, il dato di un fascio sullo spazio topologico \(\{*\}\), con la sua unica topologia, consta infatti di... rispondi tu, per esercizio. E un fascio su $\mathbb R$ allora è il dato di un insieme
b. Un fascio è un insieme coerente di dati locali, ciascuno definito su un aperto di $E$, "separabili", cioè univocamente determinati dal loro comportamento sulle restrizioni nel senso dell'assioma 1, e globalmente compatibili, nel senso dell'assioma 2.

Gli esempi di fasci sono innumerevoli, in geometria differenziale, analisi complessa, geometria algebra, analisi funzionale, PDE...

Un fatto interessante, di cui il risultato che citi è la decostruzione e la specializzazione ad \(\mathbb R\), è che anche se le sezioni di $S$ sono elementi astratti di un "insieme variabile" $SU$, ogni fascio è un fascio di funzioni: esattamente il fascio delle sezioni \(S_{\mathbb R(S)} : O(\coprod_{t\in \mathbb R} S_t) \to \sf Set\) dello spazio etalé $E(S)$ associato al fascio astratto $S$.

[vict85]

Mi sa che ti ho confuso invece di chiarirti le cose.

Il fatto che una base sia un ricoprimento dell'intero spazio non implica che sia chiuso per unioni arbitrarie. Per esempio, gli intervalli aperti con estremi razionali formano una base della retta reale, ma non comprendono gli intervalli aperti con estremi irrazionali, le unioni di intervalli disgiunti, gli intervalli del tipo \((a, \infty)\) e neanche la retta reale stessa. Ma questi ultimi possono essere costruiti come unioni (eventualmente numerabili) di elementi della base.

Quello che è vero, è che se un insieme rispetta le proprietà di essere una base, allora l'unione arbitraria dei propri membri forma una topologia. Quest'ultima è anche la topologia generata da quell'insieme (ovvero è la più piccola topologia che contiene quell'insieme). Inoltre, la base (definita con la seconda definizione) è una una base (nel senso della prima definizione) della topologia che genera.

[Silent]

Scusami, mi sto rincretinendo. Faccio qualche passo indietro.

Quello che è vero, è che se un insieme rispetta le proprietà di essere una base, allora l'unione arbitraria dei propri membri forma una topologia.

Non riesco a vederlo.
Facciamo che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è la nostra base (def.2), e chiamiamo \(\displaystyle \mathcal{A} \) l'insieme di tutte le possibili unioni arbitrarie di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \). Volevo verificare che \(\displaystyle (\bigcup \mathcal{B},\mathcal{A}) \) fosse uno spazio topologico. E' questo che dicevi nella frase che ho citato no?
Dunque:
1. \(\displaystyle \emptyset \) e \(\displaystyle \bigcup \mathcal{B} \) sono in \(\displaystyle \mathcal{A} \);
2. una qualsiasi unione di elementi di \(\displaystyle \mathcal{A} \) è una unione di unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \), per cui è ancora in \(\displaystyle \mathcal{A} \);
3. una intersezione di due elementi di \(\displaystyle \mathcal{A} \) si scrive come \(\displaystyle \left(\bigcup_{\alpha \in I_1}\underbrace{B_\alpha}_{\in \mathcal{B}}\right) \cap \left(\bigcup_{\beta \in I_2}\underbrace{B_\beta}_{\in \mathcal{B}}\right) \), ovvero \(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I_1,\beta\in I_2} B_\alpha \cap B_\beta \), ma nessuno mi garantisce che \(\displaystyle B_\alpha \cap B_\beta \in\mathcal{B} \), oppure che sia l'unione di opportuni elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \), poiché dalla definizione di base (def.2) tutto ciò che so è solo che esiste un \(\displaystyle B\in\mathcal{B} \) che verifica \(\displaystyle B\subseteq B_\alpha \cap B_\beta \), e non necessariamente \(\displaystyle B=B_\alpha \cap B_\beta \).

Scusami se sto facendo domande banali ma ho difficoltà a capire.


@soleàl, finisco di chiarirmi un attimo questi aspetti e poi leggo tutto, anche se da un'occhiata veloce dubito che sia in grado di starti dietro.

[vict85]

Mi sono reso conto che la tua definizione 2 è sbagliata. L'ho confrontata su dei libri e su internet ed è la seguente:

Definizione: \(\mathscr{B}\) è una base per una topologia su \(X\) se:

1. \(X = \bigcup_{B \in \mathscr{B}} B\);
2. per ogni \(B_1, B_2\in \mathscr{B}\) non disgiunti e \(x\in B_1\cap B_2\) esiste un \(B_x\in \mathscr{B}\) tale che \(\{x\}\subseteq B_x\subseteq B_1\cap B_2\).

Con questa definizione è evidente che \(B_1\cap B_2 = \bigcup_{x\in B_1\cap B_2} B_x\).