Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Pasquale 90 » 06/04/2020, 14:27

Buonasera,
Sto leggendo la definizione di sottospazio vettoriale.

Sia $(V,+,*,K)$ spazio vettoriale su $K$ "posto per semplicità $V(K):=(V,+,*,K)$"e sia $WsubseteqV$ si definisce sottospazio vettoriale di $V(K)$ nella seguente maniera:

$W$ sottospazio vettoriale di $V(K) \ <=> \ a) \ W ne emptyset, \ \ b)\ u,v in W\to\ u+v in W, \ c)\ a in K, \ u in W, \ to \ au in W.$


Vi chiedo ma le operazioni di somma e prodotto che vengono definite in $W$ sono quelle indotte da $V$ ?
Mi verrebbe da dire di si inoltre, aggiungerei: per forza !!
Essendo per definizione $W$ una parte stabile di $V$, quindi risulta che l'operazione di somma, piuttosto che il prodotto, è un'operazione indotta da $+_V$ su $W$.
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda marco2132k » 06/04/2020, 15:08

Certo, sono le restrizioni \( {+}{\restriction_{W\times W}}\colon W\times W\to V \) e \( {\cdot}{\restriction_{K\times W}}\colon K\times W\to V \).
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Pasquale 90 » 06/04/2020, 16:46

Ti ringrazio innanzi tutto per avermi risposto.. l'unica cosa, non mi torna la definizione di operazione indotta che hai dato.
Quindi, se ho ben capito, si potrebbe dimostrare che: $W$ sottospazio vettoriale ha la stessa struttura vettoriale di $V$, quindi $W$ è uno spazio vettoriale su $K$.

Mi spiego meglio:
Sia $V(K)$ inoltre considero la definizione da me data:
Pasquale 90 ha scritto:
$ W $ sottospazio vettoriale di $ V(K) \ <=> \ a) \ W ne emptyset, \ \ b)\ u,v in W\to\ u+v in W, \ c)\ a in K, \ u in W, \ to \ au in W. $


Vorrei dimostrare che $W$ è uno spazio vettoriale (secondo la definizione) su $K$ con le operazioni indotte:
\( {+}{\restriction_{W\times W}}\colon (u,v) \in W\times W\to u+v \in W \) e \( {\cdot}{\restriction_{K\times W}}\colon (a,v) \in K\times W\to av \in W \)
da $V$.

Come detto, dalla definizione di sottospazio vettoriale, si osserva che le operazioni che compaiono per definirlo, sono le operazioni indotte da $V$.
Quindi si la seguente struttura algebrica $(W,+_(| WtimesW),cdot_(|KtimesW),K)$.

Quindi dobbiamo verificare che:
1) $(W,+_(| WtimesW))$ gruppo abeliano.
2)...
Continuo, sto andando bene ?
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda marco2132k » 06/04/2020, 17:30

Sinceramente non ho capito il tuo dubbio. Se \( V \) è uno spazio sul campo \( K \), un suo sottospazio \( W \) è definito come un sottoinsieme \( W\subset V \) chiuso per le stesse operazioni di \( V \). Poi, sì, se sei iper-formale e vedi uno spazio vettoriale come una quadrupla \( \left(V,K,{+},{\cdot}\right) \), puoi fare del sottospazio \( W \) uno spazio vettoriale in sé facendogli indossare la struttura di spazio vettoriale come \( \left(W,K,{+}{\restriction_{W\times W}},{\cdot}{\restriction_{W\times W}}\right) \).

Per dimostrare che \( \left\{\bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr):\alpha x_1 + \beta x_2 = 0\right\} \) è un sottospazio di \( K^n \) (per \( \alpha,\beta\in K \) campo fissati) non ti fai queste pippe. Mostri che, presi due \( \bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr) \) e \( \bigl(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\end{smallmatrix}\bigr) \) di quell'insieme, è \( \bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix}x_1 + y_1\\x_2 + y_2\end{smallmatrix}\bigr) \) è ancora elemento di quell'insieme, e cioè vale \( \alpha\left(x_1 + y_1\right) + \beta\left(x_1 + y_2\right) = 0 \). Eccetera.

Se vuoi esempi più esotici, dimostra che \( \left\{\bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\\dots\\x_n\end{smallmatrix}\bigr):\sum_{i}x_i^2\right\} \) è un sottospazio di \( K^n \) per ogni campo \( K \) di caratteristica \( 2 \) c:

Aspetta, forse stavi chiedendo: "È vero che se \( W \) sottospazio di \( V \), allora con \( {+} \) e \( {\cdot} \) ristrette è uno spazio su \( K \)?". Sì, appunto.
marco2132k
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Pasquale 90 » 07/04/2020, 14:09

marco2132k ha scritto:Aspetta, forse stavi chiedendo: "È vero che se \( W \) sottospazio di \( V \), allora con \( {+} \) e \( {\cdot} \) ristrette è uno spazio su \( K \)?". Sì, appunto.
:smt023

Quindi sostanzialmente , e che se voglio dimostrare che
$(W,+_(|WtimesW))$ gruppo abeliano;
$u,v,w in W$ si ha:
$(u+_(|WtimesW) v)+_(|WtimesW)w=(u+v)+_(|WtimesW)w=(u+v)+w=u+(v+w)=u+_(|WtimesW)+(v+_(|WtimesW)w)$
allora risulta $+_(|WtimesW)$ associativa in $W$
In modo analogo per la commutatività. Invece $W$ è per def. un sottospazio vettoriale, quindi è chiuso rispetto al prodotto per uno scalere cioè, $a in K$ e $v in W$ risulta $av in W$, basta prendere:
1) $a=0$ per verificare che il vettore nullo $0 in W$,
2) $a=-1$ per verificare che esiste l'opposto di ogni vettore.
quindi abbiamo provato che $(W,+_(|WtimesW))$ è un gruppo abeliano.

Quindi bisogna procedere cosi ? :)
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda marco2132k » 07/04/2020, 18:06

Il tuo \( W \) è uno spazio vettoriale con le operazioni \( {+} \) e \( {\cdot} \) di \( V \) "ristrettegli" in dominio e in codominio: che la restrizione in dominio "a \( W \)" di queste funzioni mappi in \( W \) è esattamente quello che è chiesto affinché \( W \) sia sottospazio (occhio che una funzione è di fatto una tripla \( \left(X,Y,f\right) \), e quindi molto formalmente \( \left(W\times W,V,{+}\right) \) e \( \left(W\times W,W,{+}\right) \) non sono la stessa funzione; quindi è giusto specificare che \( W \) è sottospazio con \( + \) e \( {\cdot} \) ristrette in dominio e in codominio, se vuoi).

Devi far vedere che \( \left(W,K,{+},{\cdot}\right) \) è uno spazio vettoriale; lo fai allo stesso modo di come verifichi che un qualsiasi insieme \( X \) con qualsiasi operazioni della firma giusta è uno spazio vettoriale. Nota che tutte le proprietà che devi verificare seguono banalmente: se valgono nell'insieme \( V \) "grande", varranno anche nell'insieme \( W\subset V \) "piccolo".

bisogna procedere così?
Sì.
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Pasquale 90 » 08/04/2020, 15:17

marco2132k ha scritto:(occhio che una funzione è di fatto una tripla \( \left(X,Y,f\right) \), e quindi molto formalmente \( \left(W\times W,V,{+}\right) \) e \( \left(W\times W,W,{+}\right) \) non sono la stessa funzione; quindi è giusto specificare che \( W \) è sottospazio con \( + \) e \( {\cdot} \) ristrette in dominio e in codominio, se vuoi).


Questa è una cosa che mi chiedo, perché non vengono specificate nelle definizioni queste osservazioni...

Comunque continuo, devo verificare le proprietà riguardanti il prodotto, sia:
$cdot_(|KtimesW) \:\ (a,w) in KtimesW \to\ aw in W$

Siano $a,v in K$ e $w in W$
1) $(a +_(| WtimesW) b)cdot_(|KtimesW)w=(a+b)cdot_(|KtimesW)w=(a+b)w=aw+bw=acdot_(|KtimesW)w+bcdot_(|KtimesW)w=acdot_(|KtimesW)w+_(| WtimesW) bcdot_(|KtimesW)w$

Ora si dovrebbe provare: proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori, proprietà associativa del prodotto ed esistenza dell'elemento neutro del prodotto.
Poichè si dimostrano in modo analogo alla precedente, ti chiedo caro marco2132k :) se quanto scritto è corretto.

Saluti
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda kaspar » 09/04/2020, 00:47

Quindi, se ho capito bene, tu vorresti metterti di buona lena a vericare tutti gli assiomi di spazio vetteriole per ogni canditato sottospazio vettoriale? Se vuoi, puoi farlo, ma è lungo e noioso.
Tieni conto che, a parte l'assioma di esistenza del vettore nullo, tutti gli altri sono universali, i.e. (se li formalizzi) iniziano con dei quantificatori universali. Questa parentesi logica sta a dire che: posso avere qualche nozione di sottospazio? Dipende. Se un sottoinsieme ha delle proprietà sufficienti (chiusura rispetto a \(+\) e \(\cdot\)), riesci a provare che ha il vettore nullo (e hai così verificato l'unico assioma esistenziale). Tutti gli altri assiomi di spazio vettoriale? Ecco... Vengono ereditati naturalmente dallo spazio che contiene l'insieme in esame, data la chiusura rispetto alle due operazioni.
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Pasquale 90 » 11/04/2020, 17:31

Buonasera, no no...non voglio provare che per ogni candidato sottospazio vettoriale verifichi che è uno spazio vettoriale, la mia incertezza era sulla formalizzazione in modo corretto delle operazioni indotta da $V$ su $W$, per questo motivo ho usato molta formalità nei precedenti topic.
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Re: Definizione di sottospazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 11/04/2020, 22:26

Perdonami, ma non resisto: con tutte le difficoltà che si sono, vuoi rendere difficili anche le cose che non lo sono?
Prendi uno spazio vettoriale $V$ qualsiasi.
Poi prendi un sottoinsieme di $V$, diciamo $W$, e ti chiedi se è un sottospazio vettoriale.
Chiunque al mondo si regola in modo molto semplice (esiste il vettore nullo? è chiuso rispetto a...?), ma tu vuoi definire "operazioni indotte" o "ristrette". Ma perché?

A me sembra che dimentichi una cosa: se $W$ è un sottospazio in quel senso molto semplice, è però anche in primo luogo un sottoinsieme di $V$, quindi qualsiasi elemento di $W$ deve appartenere anche a $V$.
Questo vuol dire che devono appartenere sia a $W$ che a $V$ tutte le combinazioni lineari degli elementi di una base di $V$ che siano anche elementi di una base di $W$: se $alpha_1b_1+...+\alpha_{dim W}b_{dim W}$ appartiene a $W$, deve appartenere anche a $V$. E come sarebbe possibile se somma e moltiplicazione per uno scalare fossero definite in modo diverso?
Non riesco proprio a non vederle come le stesse identiche operazioni.

EDIT. Te lo dico con le parole di Steven Roman, Advanced Linear Algebra, p. 35:«Since many of the properties of addition and scalar multiplication hold a fortiori in a nonempty subset $S$, we can establish that $S$ is a subspace merely by checking that $S$ is closed under the operations of $V$».
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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