utentephysics ha scritto:la funzione è:
f(x)=log(x+1)-((x+1)/(x-1))
la domanda è:
si dica se esiste ed eventualmente si determini una funzione g che su ciascuno degli intervalli del dominio della f sia una primitiva di f e sia g(0) = g(2) = 0. Si dica se tale g è unica.
La funzione è definita per \(\displaystyle \begin{cases}
x+1>0,\\
x\neq1\\
\end{cases} \)
dunque gli intervalli di definizione sono \(\displaystyle (-1, +1) \cup (+1, +\infty) \)
L'integrale di \(\displaystyle \ln x \) si fa per parti , e per il secondo membro puoi sommare e sottrarre \(\displaystyle \frac{2}{x-1} \) per ricondurti a \(\displaystyle \frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1} \).
Ora, su ciascuno degli intervalli di esistenza \(\displaystyle I_1, I_2 \) le funzioni \(\displaystyle g_1, g_2 \)possono avere una diversa costante d'integrazione, cioè sarà
\(\displaystyle g_1(x)=g(x)+c_1 \), \(\displaystyle g_2(x)=g(x)+c_2 \),
dove \(\displaystyle g(x) \) è la primitiva che hai calcolato.
Ora devi imporre che \(\displaystyle g_1(0)=g_2(2)=0 \) e verificare che \(\displaystyle c_1=c_2 \)(non sono affatto uguali). Qualora esistesse un'unica primitiva che soddisfa tali richieste, essa dovrebbe essere unica, ma a bruciapelo non so dirti il perchè.