Esercizio sulla funzione inversa

Messaggioda tetravalenza » 23/04/2020, 20:39

Ciao, ho provato a risolvere l'esercizio 6 della raccolta di esercizi proposta dal Prof. Canuto: chiede di determinare
\[
f^{-1}((-\infty, 0])
\]
della funzione
\[
f(x)=\log(2-|x|)
\]
dopo aver determinato il dominio della funzione, l'intervallo $(-2,2)$ ho tracciato il grafico della funzione aiutandomi con i limiti. Allora basandomi sul grafico ho stabilito che la funzione non è invertibile. Però il libro di analisi 1 che sto leggendo (S. Lancilotti, Analisi I), nel capitolo sulle funzioni, si afferma che "Se $f$ non è invertibile, allora $f^{-1}(b)$ indica solo la preimmagine di $b$ traite $f$. In questo caso la preimmagine è l'unione di intervalli $(-2, -1]\cup [1,2)$? Io sono giunto a questa conclusione osservando il grafico ma in un'altra parte dello stesso libro si afferma che "è sempre possibile determinare esplicitamente la preimmagine di un sottoinsieme di $R$. Basta risolvere una equazione o disequazione. le equazioni da risolvere sono le seguenti?
\[
y=2-e^x
\]
e
\[
y=e^x-2
\]
tetravalenza
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 103 di 329
Iscritto il: 29/03/2019, 14:35

Re: Esercizio sulla funzione inversa

Messaggioda Mephlip » 23/04/2020, 21:20

Sì, purtroppo c'è questa ambiguità tra la funzione inversa e la preimmagine nel simbolismo; tranne il perverso caso in cui uno vuole sapere l'immagine di un insieme tramite la funzione inversa di $f$ solitamente non c'è ambiguità.

In questo caso ti chiede la preimmagine, il tuo risultato è corretto; la preimmagine è $(-2,-1] \cup [1,2)$.
Quello che non è corretto sono le due equazioni, devi imporre $y=\ln(2-|x|)$ e risolvere per $x$; ricorda che la preimmagine è un sottoinsieme dell'insieme di partenza, perciò sono dei valori di $x$.
In realtà puoi fare anche come hai fatto tu, ma ricordati poi alla fine di invertire $x$ ed $y$; tuttavia credo che uno possa dimenticarsene e credo sia didatticamente meno sensato, non ti fa assimilare appieno cosa sia la preimmagine.

Comunque quel "sempre possibile determinare esplicitamente la preimmagine" non mi piace tanto, non tutte le equazioni/disequazioni si risolvono esplicitamente.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 742 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Esercizio sulla funzione inversa

Messaggioda tetravalenza » 23/04/2020, 21:48

OK grazie. Partendo dalle espressioni
\[
f(x)=\log(2-x), 0\leq x<2
\]
e
\[
f(x)=\log(2+x), -2<x<0
\]
ricavo la x in entrambe le forme passando all'esponenziale
\[
x=2-e^y
\]
e
\[
x=e^y-2
\]

sostituisco nelle disequazioni precedenti e risolvendo i sistemi giungo appunto ai due intervalli della preimmagine.
tetravalenza
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 104 di 329
Iscritto il: 29/03/2019, 14:35


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 1 ospite