Buonasera,
sto cercando di dimostrare il seguente teorema sugli integrali:
Se $f:[a,b] -> RR$ è integrabile, allora $ f^+ $ , $ f^- $ e $ |f| $ sono integrabili. Inoltre $ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ .
Ho ragionato così:
per ipotesi so che $ f $ è integrabile e quindi $ AA epsilon> 0 $ $ EE P $ suddivisione di $ [a,b] $ tale che
$ S(f,P) - s(f,P)<= epsilon $
Ora io vorrei scrivere che
$ S(f^+,P) -s(f^+,P)<=S(f,P) -s(f,P)<= epsilon $
e in questo modo dimostrerei che $ f^+ $ è integrabile, poiché soddisfa il criterio di integrabilità.
Per poterlo scrivere, però, dovrei dimostrare la seguente disuguaglianza
$"sup" f^+ - "inf" f^+ <= "sup" f^(-) - "inf" f^(-) $
ma non so come fare.
Potreste aiutarmi?
Grazie mille