Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

[alterbi]

OK quindi dovevo fare esattamente il contrario di quello che avevo fatto: io mostravo che per ogni z esisteva un $zeta=z/c$.Invece l'idea corretta è mostrare che per ogni $zeta>0$ esiste un z che sta nell'intervallo $[0, oo[$.

Quello che vuoi dimostrare è che, se c>0, allora al variare di z>0 (in tutto l'intervallo)*, il rapporto z/c assume tutti i valori >0

*[ho aggiunto una parte in grassetto che credo sia utile per spiegare il mio dubbio qui di seguito]

Con la dimostrazione che hai indicato posso mostrare che per qualunque valore $zeta=z/c$ (cioè percorrendo tutto l'intervallo $[0, oo[$ per la variabile in questione) trovo una z all'interno dello stesso intervallo $[0, oo[$ di valori.
(quello che segue non è per nulla formale -perdonami- però vorrei chiarire solo l'idea per aiutarmi a formalizzare questo fatto)
Tuttavia non mi sembra di riuscire a mostrare che $z$ lo percorra tutto, potrei infatti supporre che nel "punto" infinito di $zeta=z/c$ abbia un corrispondente $z$ più piccolo del valore "massimo" del suo intervallo, cioè $z$ non abbia percorso "tutto" l'intervallo quando invece $zeta$ lo ha già percorso tutto.

E' il non capire questo pezzo che mi inquieta, che poi a parti invertite è quello che cercavo di mostrare nel mio post precedente.

E sai dimostrare che il numero z determinato sopra è anche unico?

Domanda bonus che mi hai proposto e mi segno qui, voglio andare per gradi. Cioè prima capire bene tutto sul precedente dubbio se no mi ingolfo di dubbi .
La evidenzio qui così non la perdo!

Grazie gugo

[gugo82]

Beh, semplicemente devi chiarire prima cosa vuoi dimostrare.

Una cosa è dimostrare che il rapporto $z/c$ assuma tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$ quando $z$ prende valori positivi, il che significa provare che:
\[
\forall \zeta > 0,\ \exists z_\zeta >0:\quad \zeta = \frac{z_\zeta}{c}\; ;
\]
un'altra è provare che al variare di $zeta$ in $]0,+oo[$ i numeri $z_zeta$ tali che $zeta = (z_zeta)/c$ assumano tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$, ossia che:
\[
\forall Z >0,\ \exists \zeta >0:\quad z_\zeta = Z\; .
\]
Sono proprio cose differenti... Anche perché sono legate a due differenti proprietà della funzione:

$f: [0,+oo[ -> RR$ definita ponendo $f(z) = z/c$.

La prima ($AA zeta >0, "etc..."$) equivale a dimostrare che la funzione $f$ ha come immagine l'insieme $]0,+oo[$; la seconda ($AA Z >0, exists zeta : "etc..."$) equivale a chiedersi se ogni elemento del dominio di $f$ ha immagine in $f([0,+oo[)$.
La seconda questione è banale e non ha bisogno di dimostrazione: infatti, per definizione di funzione, tutti gli elementi del dominio hanno un'immagine mediante $f$.
La prima non lo è (o, meglio, lo è, ma va comunque studiata).

[alterbi]

Beh, semplicemente devi chiarire prima cosa vuoi dimostrare.
la seconda ($AA Z >0, exists zeta : "etc..."$) equivale a chiedersi se ogni elemento del dominio di $f$ ha immagine in $f([0,+oo[)$.
La seconda questione è banale e non ha bisogno di dimostrazione: infatti, per definizione di funzione, tutti gli elementi del dominio hanno un'immagine mediante $f$.

Hai ragionissima, ovviamente! Non ci avevo pensato

Ma a conti fatti quindi se voglio dimostrare questa proposizione:

Quello che vuoi dimostrare è che, se c>0, allora al variare di z>0 (in tutto l'intervallo)*, il rapporto z/c assume tutti i valori >0

Devo dimostrare entrambe le cose. Siccome -quella che chiami- "seconda" è ovvia per definzione di funzione, mi resta da dimostrare la "prima", e questo è dimostrabile come hai fatto nello spoiler.
In questo modo concludo dicendo che la proposizione è valida, è corretto impostarla così?

Informalmente la prima dimostra che prendendo qualunque $zeta$ trovo uno z>0, la seconda mostra che qualunque z>0 mi porta a uno $zeta$ e la dimostrazione della proposizione nel quote dovrebbe essere conclusa. Spero giusto o ho sbagliato?.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ti prego di scusarmi per le domande sceme, ma sono davvero indietro nelle mie capacità (e come mi hai evidenziato devo migliorare sul capire cosa devo dimostrare) e voglio davvero capire TUTTO meglio che posso. Mi stai dando una grande mano!

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Sperando sia giusta la parte sopra (nel caso bacchettami ) volevo provare a risponere a:

Quello che vuoi dimostrare è che, se $c>0$, allora al variare di $z>0$ il rapporto $z/c$ assume tutti i valori $>0$, cioè che:
\[
\forall \zeta >0,\ \exists z >0 :\quad \zeta=\frac{z}{c}\; .
\]
Ma questo è banale: infatti, scelto arbitrariamente $zeta >0$ il numero $z=c zeta$ (che si ottiene formalmente risolvendo l'equazione $z/c=zeta$ rispetto a $z$) è positivo (per Regola dei Segni) e tale che $z/c = (c zeta)/c = zeta$ (per regolette algebriche fondamentali); l'arbitrarietà nella scelta di $zeta$ fa sì che tu possa riprodurre lo stesso discorso per ogni $zeta >0$ e quindi sei a cavallo.

E sai dimostrare che il numero $z$ determinato sopra è anche unico?

Ho pensato di ragionare per assurdo e dire:

Se $z$ non è unico (ipotesi assurdo) => $EEz'$ diverso da $z:z'=c\zeta$ tuttavia sappiamo che $z=c\zeta$ => $z=c\zeta=z' =>z=z'$ il che è un assurdo rispetto all'ipotesi d'assurdo

E' giusta una cosa del genere?

[gugo82]

Per la prima parte, sì, ci sei grossomodo.

Per l'unicità, in realtà la dimostrazione può esser fatta in due modi:

1. unicità vuol dire che se esistono due oggetti che hanno la stessa proprietà, allora essi coincidono: sotto questo punto di vista, supponi che esistano due valori $z,Z >0$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e dimostri che $z=Z$;
   
   
2. unicità vuol dire che se esistono due oggetti differenti che hanno la stessa proprietà, allora la teoria "non sta in piedi" (cioè, ottieni un assurdo): sotto questo punto di vista, supponi che esistano $z!=Z$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e mostri che ciò porta ad un assurdo (il che può voler dire molte cose, cioè a ritrovare qualcosa che contrasta le ipotesi, oppure qualcosa che contrasta gli assiomi, ovvero contrasta teoremi già dimostrati, etc...).

Tu sembri aver scelto la seconda strada, e però stai commettendo un errore capitale.
Infatti, non puoi usare l'informazione $z=c zeta$, perché non è detto che $c zeta$ sia l'unico numero tale che $z/c=zeta$ (lo è, ma lo devi dimostrare, quindi non lo puoi assumere tra le ipotesi) e questo lo stai usando per asserire che $z=z'$ (nella tua notazione).
Quindi, assumendo nelle ipotesi la tesi, non stai dimostrando... In pratica, il tuo ragionamento è assimilabile ad una frase del tipo "è così perché è così".

[alterbi]

In effetti $z$ lo ricavo come soluzione di una equazione (nel nostro caso $z/c=\zeta$) che quindi non è sempre univoca, ho confuso perché mi son detto "prendo $z=c\zeta$", ma non è così esce dall'equazione! (ad esempio -prima cosa che mi viene in mente- se risolvo una equazione di secondo grado potrei avere due valori che rendono vero il tutto).
Insomma ho fatto una bella tautologia , perché a 'ste cose non ci arrivo mai!!

Quindi seguendo la tua seconda via dovrei in definitiva scrivere:
Ipotizzo per assurdo che $z!=Z$, e prendo quindi la relazione $z/c=ζ=Z/c$ da cui si deduce per transitività che $z/c=Z/c$ e dalla seconda proprietà di equivalenza per le equazioni giungo all'assurdo (rispetto all'ipotesi di assurdo) che $z=Z$: falso!
Dunque $z!=Z$ è ipotesi falsa e z sarà unico.

[gugo82]

Sì, ci sei... Va scritto un po' meglio, ma per cominciare va bene.

[alterbi]

Grazie gugo, davvero grazie mille. Purtroppo, da solo, per quanto facile, non ci sarei proprio riuscito e questo testimonia ancora quanta strada debba fare.

Sei stato gentilissimo.

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Lo metto in spoiler solo perché la domanda è di per sé conclusa. Però, per imparare il gusto estetico, mi piacerebbe chiederti come l'avresti scritta tu

[gugo82]

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Per assurdo, supponiamo che esistano $z!=Z$ tali che $z/c = Z/c$; moltiplicando per $c$ ambo i membri otteniamo $z=Z$, ma ciò è assurdo perché contro l'ipotesi $z!=Z$.

[alterbi]

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Molto più chiara e snella, senza voli pindarici. Ho capito! Grazie mille per il tuo aiuto ed enorme pazienza nello spiegare, buona serata.