da 3m0o » 30/04/2020, 04:30
Per 3) esatto!
Per 2) la differenza tra una proprietà è vera \( \forall n \in \mathbb{N} \) e una proprietà è vera per \( n \to \infty \) è racchiusa nella seguente frase: \( \forall n \in \mathbb{N} \), \(n \) è finito! Mentre,detto in modo un po' brutale, \( \infty \not\in \mathbb{N} \).
Una volta lessi, non ricordo dove purtroppo, un'analogia con l'induzione e questa differenza. Immaginati un treno che da fermo in stazione si mette in moto. La locomotiva inizia a muoversi, ma nell'istante in cui la locomotiva si muove il primo vagone passeggeri è ancora fermo, solo dopo un istante la locomotiva tira il primo vagone che si muove anch'esso. Nell'istante in cui il primo vagone si muove il secondo vagone è ancora fermo, etc.
Ora immaginati un treno con tanti vagoni quanti sono i numeri naturali, e numerati nel seguente modo \(0 \) è la locomotiva, \(1\) il primo vagone, etc...
Supponiamo che se il vagone \( n \) si muove nell'istante \( t_n \) allora il vagone \(n+1 \) si muove nell'istante \( t_n + \epsilon = t_{n+1} \), ovvero un vagone ha un \( \epsilon \) di ritardo sul precedente. E supponiamo che nel tempo \( t_0 \) la locomotiva si muove.
Abbiamo che \( \forall n \in \mathbb{N} \) esiste un tempo \( t \in \mathbb{R} \) tale che il vagone \( n \) si muove.
Infatti nel tempo \( t_0 \) la locomotiva si muove.
Supponiamo vero che il vagone \( t_n \) si stia muovendo, abbiamo che dopo \( \epsilon \) il vagone \( n+1 \) si sta muovendo.
Ma non esiste alcun tempo in cui l'intero treno è in movimento, infatti ogni volta che un vagone inizia a muoversi c'è sempre almeno un vagone, il successivo, che è ancora fermo.
Infatti la differenza qui è la finitezza, ogni volta che hai un numero finito di passi, di vagoni, puoi arrivare alla fine, e dire che ad un certo punto non c'è più un vagone fermo. Mentre con un infinità di vagoni non c'è un ultimo vagone, quindi il treno intero non sarà mai in movimento.
Mi permetto a tal proposito di rispondere alla domanda che hai posto ad anto sul fatto che \( \forall k \in \mathbb{N} \) ottengo che \( a_k = b_k \), poi se anto o qualcun altro vorrà fare delle precisazioni o delle correzioni su quanto sto per dire, con piacere. In questo caso vero \( \forall n \in \mathbb{N} \) implica che è vero anche con \( k \to \infty \)
In primo luogo la scrittura
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
è un modo per dire
\[ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \]
Se supponi che \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \) come ti ha mostrato anto_zoolander hai che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) hai che \( a_k = b_k \). Il fatto è che le due successioni \( (a_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e \( (b_k)_{k\in \mathbb{N}} \) sono indicizzate con indici \( k \in \mathbb{N} \) quindi dimostrare che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) hai che \( a_k = b_k \) equivale a dimostrare che \( (a_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e \( (b_k)_{k\in \mathbb{N}} \) sono la stessa successione.
Oppure puoi vederla nel seguente modo
Supponi che \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \) ma che le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono differenti.
Allora vuol dire che esiste un \( N \in \mathbb{N} \) minimale tale che \( a_N \neq b_N \), o detto in altro modo, tale che \( a_N \neq b_N \) e \( \forall 0 \leq k \leq N \) abbiamo che \( a_k= b_k \).
Ma \( N \) è finito e anto_zoolander ti ha dimostrato che \( \forall n \in \mathbb{N} \), quindi in particolare anche per \(N\), abbiamo che \( a_k = b_k \), quindi \( N \) non esiste e dunque le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono la stessa successione.
Usando l'analogia di prima, magari non precisissima, supponiamo che anto_zoolander abbia deciso di pitturare tutti i vagoni (inizialmente bianchi) di rosso, perché gli piace il rosso. Così inizia dalla locomotiva e uno dopo l'altro li colora tutti. Abbiamo la certezza che \( \forall n \in \mathbb{N} \) esiste un tempo \(t_n \) in cui l'\(n\)-esimo vagone è pitturato di rosso. Dopo molto tempo arrivo io e mi domando: è per caso possibile che anto abbia saltato qualche vagone lasciandolo bianco?
Beh se ne ha saltati alcuni ci dev'essere anche il primo vagone che ha lasciato bianco, diremo che questo è il vagone \(N\)-esimo. Ma questo \(N\) è finito e quindi so che al tempo \( t_N \) esso sarà colorato di rosso da anto. Quindi non ci può essere nessun vagone saltato, proprio perché è finito, c'è un ultimo vagone rosso prima di quello ipoteticamente "dimenticato" da anto, quindi posso controllarli tutti e verificare che effettivamente non l'ha dimenticato. Il treno ssarà interamente rosso ad un certo punto? No! Vi saranno sempre dei vagoni bianchi, che non ha ancora colorato, ma ciò non vuol dire che non saranno mai colorati, lo saranno tutti.
Sostanzialmente abbiamo la certezza che se il vagone \( n \) è rosso allora tutti i precedenti sono anch'essi rossi. E sappiamo che \( \forall n \in \mathbb{N} \) ci sarà un tempo \(t_n \) in cui l'\(n\)-esimo vagone sarà rosso, dunque abbiamo la certezza assoluta che nessun vagone sarà dimenticato da anto. Che è diverso dall'affermare che il treno è interamente colorato di rosso.
Per la domanda sul controesempio.
Dimostriamo che \[ \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] = (0,1) \]
per dimostrarlo dobbiamo dimostrare la doppia inclusione.
Precediamo con quella più facile, ovvero
\[ \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \subset (0,1) \]
Abbiamo infatti che preso \( x \in \bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \) allora vuol dire che esiste \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale per cui \( x \in [1/n,1-1/n] \) e dunque siccome \( [1/n,1-1/n] \subset (0,1) \) abbiamo che \( x \in (0,1) \).
Dimostriamo ora:
\[(0,1) \subset \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
abbiamo che per \( x \in (0,1) \) e poiché \( \mathbb{R} \) gode della proprietà di Archimede, deduciamo dunque che esiste \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale che \( 1/n < x \). Da qui ci sono due possibilità
Se \( x < 1- 1/n \) abbiamo finito perché \( x \in [1/n,1-1/n] \).
Se \( x > 1 - 1/n \), possiamo trovare \( m \) tale che \( x < 1- 1/m \) e dunque abbiamo che \( 1/m < 1/n < 1-1/n < x < 1-1/m \) e dunque \( x \in [1/m,1-1/m] \).
In entrambi i casi abbiamo trovato un \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale che \( x \in [1/n,1-1/n] \) e dunque \[ x \in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
O alternativamente (come per i vagoni rossi, vedi sopra) se ti è chiaro che \( (0,1) \subset \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \) puoi anche dimostrare che \( 1 \not\in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \), e in modo analogo poi anche lo \(0 \).
Se \( 1 \in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \) allora per definizione esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che \(1 \in \left[\frac{1}{N} , 1 - \frac{1}{N} \right] \), ma per ogni \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( 1 > 1 - 1/N \) e pertanto \( \forall N \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( 1 \not\in \left[\frac{1}{N} , 1 - \frac{1}{N} \right] \) dunque questo \(N\) non esiste e concludiamo che \[ 1 \not\in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso ulteriormente con le mie analogie.