Aiuto su equazione complessa

[MrGavi96]

Salve. Sono nuovo nel forum, quindi spero voi mi perdoniate se faccio eventuali errori in questo post.
Qualche giorno fa mi sono imbattuto in questo esercizio e, nonostante sia convinto di avere le basi per risolverlo, non riesco a concluderlo.

\( (|z-1+i|-2)^2 + |z-\overline{z} -2i|^2=0 \)

Il problema è che generalmente, dopo aver sostituito a z, il valore di un generico numero complesso scritto in forma cartesiana,

$ z= x+iy $ ,

e dopo aver risolto i vari moduli con la seguente formula

\( |z|=|x+iy|=\surd(x^2+y^2) \) ,

isolo i termini con la \( i \) a destra dell'uguaglianza e i restanti a sinistra per risolvere il seguente sistema a due equazioni:

\( \begin{cases} Re(z)=0 \\ Im(z)=0 \end{cases} \) ,

Tuttavia, in questo caso, mi si annullano tutte le \( i \) e non posso, o non so come, procedere come scritto sopra.

Avete idea dove sbaglio e come dovrei fare?

Grazie mille in anticipo per il supporto.

[gugo82]

Sì, vabbé... Ma qual è l'equazione in $x$ ed $y$ a cui arrivi?

[MrGavi96]

Anzitutto grazie mille per la risposta immediata! L'equazione che mi rimane è di secondo grado e con due incognite. E, ahimè, senza l'unità immaginaria. Per questo non so come procedere oltre. Grazie ancora.

[pilloeffe]

Ciao MrGavi96,

Benvenuto sul forum!

L'equazione complessa proposta è la seguente:

$ (|z-1+i|-2)^2 + |z-\overline{z} -2i|^2=0 $

Posto $z = x + iy \implies \bar{z} = x - iy $ si ha:

$ (|x - 1 + i(y +1)|-2)^2 + |2iy -2i|^2=0 $

$(\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2} - 2)^2 + 4|y - 1|^2 = 0 $

A questo punto, invece di imbarcarmi in calcoli assurdi, osserverei che la somma di due quantità positive o al più nulle come due quadrati può essere nulla se e solo se è nullo ogni termine, per cui dal secondo si ha subito $y = 1 $; inserendo tale valore di $y$ nel primo termine deve aversi $ \sqrt{(x - 1)^2 + 2^2} - 2 = 0 \implies x = 1 $
Pertanto la soluzione dell'equazione complessa proposta è $z = 1 + i $