(Re:) Serie di Taylor

Messaggioda giangianni » 30/04/2020, 12:22

Siccome non ho trovato risposta e temo di non aver ricevuto per colpa di commettere un necroposting (ora eliminato e ho trasportato qui) preferisco creare un nuovo topic. Se ho errato qualcosa delle regole moderatemi pure :oops:

Ho un dubio su questa discussione passata: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207224

Mi piacerebbe porre una domanda sulla dimostrazione che non mi è chiara.

L'ipotesi dell'OP è di avere (cito)

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+....$
$f(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$


Ossia una funzione analitica f (cioè che la serie di Taylor converga a f in un intorno di $x_0$ e raggio $delta$), il punto è che potrei avere due serie che convergono alla stessa funzione.


Ora quel che non capisco è:

anto_zoolander ha scritto:
$f(x)=sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=g(x)$


Infatti per quale motivo $sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converge a $g(x)$? Non c'è nelle ipotesi.
Messa così mi sfugge qualcosa, perché mi pare di poter solo affermare che:

$sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=f(x)=sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ ma questo è esattamente il dubbio iniziale.

Grazie :)
giangianni
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Re: (Re:) Serie di Taylor

Messaggioda Brancaleone » 30/04/2020, 13:21

giangianni ha scritto:Infatti per quale motivo $sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converge a $g(x)$?

Come ha scritto anto_zoolander in quel post:

anto_zoolander ha scritto:se $f,g$ hanno le stesse derivate per ogni ordine allora [...] devono coincidere.

e, dato che coincidono, lo sviluppo di una è uguale allo sviluppo dell'altra.
Eliminato l'impossibile ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità.
(Sherlock Holmes ne "Il segno dei quattro" di A. C. Doyle)
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Re: (Re:) Serie di Taylor

Messaggioda 3m0o » 30/04/2020, 13:40

Aggiungo solo, che anto intende \( g^{(k)}(x) = f^{(x)}(x) \) per ogni \(x \) e per ogni \(k \). Non sta dicendo che \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \).

Se supponi solamente che
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
e
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
allora forzatamente hai che \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \) per unicità della serie di potenze. Ma se \( g^{(k)} (x) \neq f^{(k)}(x) \), e può benissimo essere il caso, allora sai già che \[ g(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
infatti in \( \mathbb{R} \) essere \( C^{\infty} \) è diverso da essere analitico. Ma ciò non contraddice l'unicità della serie di potenze, perché \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \)

Un esempio l'ho scritto in una risposta data ieri ed è questo
\[f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/x^2}& \text{se} & x \neq 0 \\
0 & \text{se} & x=0
\end{matrix}\right.\]
Abbiamo che \( f(0)=0 \) e inoltre per ogni \( f^{(k)}(0) = 0 \) per ogni \( k \in \mathbb{N}\), dunque la serie associata converge verso \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto 0 \). Infatti
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \]
per ogni \( x \in \mathbb{R} \), ma chiaramente la funzione \( g \neq f \).
Come puoi veder la funzione \[ g(x) = 0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \]
ma sono entrambe la stessa serie proprio perché \( g^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) \), il punto qui è che \( f \) non è analitica ma è solo \( C^{\infty} \) e dunque
\[ f(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\]
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Re: (Re:) Serie di Taylor

Messaggioda giangianni » 30/04/2020, 14:29

3m0o rileggendoti credo di aver afferrato il punto. Mi resta un dubbio però: mi pare di capire che supponendo che $g^(k)(x)=f^(k)(x)$ per ogni x e per ogni k porti a concludere che f coincide con g. Ossia come diceva anto_zoolander che la serie con derivate di g converge alla funzione g. Mi sfugge però il perché di questo.
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Re: (Re:) Serie di Taylor

Messaggioda 3m0o » 30/04/2020, 15:21

Una serie di potenze è la somma formale
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una funzione si dice analitica su un aperto \(U\) se per ogni \( x_0 \in U \) abbiamo che
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una serie di Taylor è una serie di potenze
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \]

Tolgo la dipendenza del punto \(x_0 \) per allegerire la notazione.

Puoi dimostrare che se \( f \) è analitica allora è \(C^{\infty} \) e in più \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)

Inversamente puoi dimostrare che per ogni serie di potenze \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) esiste una funzione \( C^{ \infty} \) tale che \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Ma attenzione non è necessariamente analitica, di più la serie di potenze potrebbe anche non convergere. Ma se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge, potrebbe convergere a qualcosa di diverso da \(f \).

Ed è qui che credo tu stia facendo confusione. Se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge vuol dire che definisce una funzione analitica \( g \), e quindi siccome analitica abbiamo che \( a_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \) ma anche \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Contraddice l'unicità della serie di Taylor? No! Perché \( \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \). Inoltre non la contraddice perché non essendo \( f \) analitica essa non sarà uguale a \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \).

Anto ti dice (credo): Se hai \( f \) e \( g \) analitiche e le loro serie di Taylor coincidono allora \( f \) e \( g \) coincidono, pertanto la serie di Taylor è unica.
Perche? Beh se hai \( f \) analitica allora \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \) e hai \( g \) analitica quindi \( g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \). Inoltre supponi
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
e concludi \( f = g \).

Io ti ho mostrato con quell'esempio che se \(f \) è analitica e \( g \) è una funzione \( C^{\infty} \) differente da \( f \), e le loro serie di Taylor coincidono allora \( g \) non è analitica perché la serie di Taylor è unica.

Se prendi \(f \) e \(g \) differenti ed analitiche la loro serie di Taylor non può coincidere.
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Re: (Re:) Serie di Taylor

Messaggioda giangianni » 30/04/2020, 18:17

Eh sì, non avevo capito un tubo di quello che avevi detto in principio.

Molto chiaro, grazie per il tuo aiutone :)
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