Ciao Alex.
Ho una mezza idea, provo a scriverla per bene, vediamo se è giusta.
La terna $ (x_0,y_0,z_0) $ rappresenta il contenuto dei tre secchi e pongo (senza perdite di generalità) $ x_0ley_0lez_0 $
allora con una serie di passaggi posso arrivare alla nuova terna
$ (2^nx_0,y-x_0sum_(i =1 )^(m)2^(j_i),z_0-x_0sum_(i=1)^(h)2^(k_i)) $
con $ {j_1,\ldots ,j_m}uu {k_1,...,k_h}={1,2,...,n} $
e $ {j_1,\ldots ,j_m}nn {k_1,...,k_h}=O/ $
inoltre ogni numero intero può essere scritto come $ sum_(j) 2^j $ (sarebbe come dire che ogni numero può essere scritto in forma binaria) . In ogni caso posto la dimostrazione qui sotto.
Lo dimostro per induzione (chiamo il generico numero naturale da scrivere in binario $ n $ ):
-la tesi è vera per $ n le 2^0 $
-suppongo la tesi vera $ AA n |nle2^k $
-dimostro che la tesi è vera per $ 2^k < n le 2^(k+1) $ :
siccome $ n > 2^k $ e $ 2^(k+1)-2^k=2^k $ posso scrivere $ n= x +2^k $ con
$ x in ZZ | x le 2^k $ e per ipotesi induttiva $ x=sum_(j) 2^j $ con $ j in {1,...,k} $ quindi
$ n=sum_(j) 2^j $ con $ j in {1,...,k+1} $
CVD
Quindi scrivo
$ (2^nx_0,y-x_0sum_(i =1 )^(m)2^(j_i),z_0-x_0sum_(i=1)^(h)2^(k_i)) = (2^nx_0,y_0-sigmax_o,z_0-(2^(n+1)-1-sigma)x_0) $ con $ sigmain NN | sigma = sum_(i =1 )^(m)2^(j_i) $ .
Inoltre diciamo che $ x_1=y_0-sigmax_o $ ; $ y_1=min(2^nx_0,z_0-(2^(n+1)-1-sigma)x_0) $ ; $ z_1=max(2^nx_0,z_0-(2^(n+1)-1-sigma)x_0) $. Quindi $ x_1ley_1lez_1 $ .
Siccome posso scegliere $ sigma $ a piacimento posso fare in modo che $ x_1 $ sia il resto della divisione (con resto) di $ y_0/x_0 $ per cui $ x_1<x_0 $ per $ x_0 ne0 $ (ovviamente se $ x_0 =0 $ il problema è automaticamente risolto).
Questo processo può essere iterato fin quando $ x_n =0 $ dove $ n $ è il numero di iterazioni, ciò deve accadere per il principio del buon ordinamento di $ NN $ :
se $ x_(k+1)<x_k $ per $ x_k ne 0 $ allora si avrà una discesa infinita se $ x_kne0 AA kin NN $ il che è assurdo