Sviluppo in Serie di Fourier e serie di potenze

[SalvaMat]

Buonasera a tutti,
volevo verificare il valore RMS di un'onda triangolare a partire dal suo sviluppo in serie di Fourier.

Se ho un'onda triangolare di picco $ X_M $ il suo valore RMS è: $ X_M/sqrt(3) $ ;
lo sviluppo in serie di Fourier è: $ X_M*8/pi^2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^2 cos((2k+1)omega t) $

Applicando la definizione di valore RMS di un segnale allo sviluppo in serie di Fourier e svolgendo i calcoli; ad un certo punto mi ritrovo il seguente risultato: $ X_M*8/pi^2*sqrt(1/2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^4 ) $

Affinchè i due risultati siano uguali il risultato della serie dovrebbe essere: $ sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^4 =pi^4/96 $

Premesso che sono molto arrugginito con le serie, ho eseguito la serie numericamente e sembra convergere a quel valore, potreste confermarmelo.

In rete ho trovato anche alcuni risultati notevoli che potrebbero essere d'aiuto:
$ zeta (2)=pi ^2/6 $
$ sum_(k =1 \ldots oo ) 1/(2k+1)^2=pi^2/8 $
$ zeta (4)= pi^4/90 $
purtroppo non ho trovato la serie di cui necessitavo.

Grazie mille e Cordiali Saluti

[gugo82]

Scusa, ma che roba è RMS?
Real Macelleria Sposito?

[Masaki]

Si il valore di quella serie è corretto infatti:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} &= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^4} - \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^4}\\
&= \sum_{k=1} \frac{1}{k^4} - \frac{1}{2^4} \sum_{k=1} \frac{1}{k^4}\\
&= \zeta(4) \bigg[\frac{2^4-1}{2^4} \bigg]\\
&= \frac{\pi^4}{90} \cdot \frac{15}{16}\\
&= \frac{\pi^4}{96}
\end{aligned}
\end{equation}

Nota che ho potuto trattare le serie come numeri visto che queste convergono assolutamente.

Comunque dal momento che quella serie di Fourier converge totalmente (è maggiorata da una serie numerica convergente), essa converge in modo uniforme per il criterio di Weierstrass. Quindi puoi fare tutte le porcate che ti vengano in mente indifferentemente sulla funzione o sulla serie!

In generale vale che:

\begin{equation}
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^n} = \zeta(n) \bigg[\frac{2^n-1}{2^n} \bigg]
\end{equation}

[SalvaMat]

Grazie mille per lo svolgimento Masaki.
L'equazione (2) è molto interessante, purtroppo non l'avevo trovata.

@Gugo: Per quanto riguarda il valore RMS di un segnale, pensavo fosse una definizione scontata.
Ad ogni modo:
Si definisce valore Root Mean Square, da cui la sigla RMS, di una funzione periodica continua x(t) sul periodo T:
$ X_(RMS)=sqrt(1/Tint_(0)^(T) [x(t)]^2 dt $

Ciao e ancora grazie

[gugo82]

Ah, RMS è (parente del)la norma $L^2$ sul periodo... E potevi dirlo prima!

[SalvaMat]

Buonasera,
@Gugo: la "norma $ L^2 $ sul periodo" non fa parte del mio vocabolario usuale, quasi sempre uso RMS.
Ad ogni modo, la richiesta era semplicemente sul risultato della serie, indipendentemente dal significato
di RMS, che ho aggiunto solo per inquadrare meglio la problematica.

@Masaki: ho scritto un altro post un po' di tempo fa dal titolo "Equazione Goniometrica particolare" (ultimo
messaggio il 15-Aprile-2020). Purtroppo il post è rimasto senza risposta; dato che sei stato così gentile
non è che potresti dargli uno sguardo e dirmi cosa ne pensi.

Complimenti per il forum.

Ciao e grazie a tutti