Decomposizione di funzione razionale

[smule98]

Ciao ragazzi devo decomporre questa funzione razionale:

$((y^2+1)^2)/(2y^2(y^2-1))$

Siccomme il grado al numeratore e il grado al denominatore coincidono ho pensato di operare una divisione di polinomi, ma il metodo che ho utilizzato mi sembra essere diverso da quello scelto dal professore e anche il mio risultato è ovviamente diverso.

Il risultato deve dare:

$1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)$

Che logica è stata seguita? Grazie

[gugo82]

Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.

In parole povere, mostra i tuoi calcoli.

[smule98]

Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.

In parole povere, mostra i tuoi calcoli.

$Quoziente: 1/2$
$Resto: 3y^2+1$

Unendoli quindi:

$1/2+(3y^2+1)/((2y^2)(y^2-1))$

[gugo82]

E basta?

Sai cos'è una scomposizione in fratti semplici?
Ti pare una scomposizione in fratti semplici quella che hai ottenuto?

[smule98]

Appunto che non lo è, sto chiedendo aiuto per quello pechè solo la divisione polinomiale non è sufficiente

[gugo82]

Ah, quindi quello di cui hai bisogno per capire "che logica è stata seguita" è studiare il metodo di scomposizione in fratti semplici.
Vedi qui, par. 1.

[smule98]

Ok sono riuscito a risolvere la decomposizione coi vari metodi.
Questa mi serviva poi per integrarla e ho trovato un problema anche qui.

$\int_{1+sqrt(3)}^{2+sqrt(5)} 1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)dy=$
$=[1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]=$
$={[sqrt(5)+1/(4+2sqrt(5))+log((2+sqrt(5)-1)/(2+sqrt(5)+1))]-[(1+sqrt(2))/2+1/(2+2sqrt(2))+log((sqrt(2))/(2+sqrt(2)))]}$

Il risultato dovrebbe invece essere:

$sqrt(5)-sqrt(2)+log(((sqrt(2)+1)(sqrt(5)-1))/2)$

[pilloeffe]

Ciao smule98,

Sei sicuro della correttezza degli estremi di integrazione? Quel $sqrt3 $ del primo estremo non è invece un $sqrt2$?
Prova così:

$ [1/2y+1/(2y)+log((y-1)/(y + 1))]_{1 + sqrt2}^{2 + sqrt5} $

[smule98]

Si scusami ho solo sbagliato nell'inserimento qui nel sito, nei calcoli vedi che poi ho usato il $sqrt(2)$
Ho già provato a proseguire così

[pilloeffe]

Tenendo presente le proprietà dei logaritmi e dopo un po' di razionalizzazioni a me invece torna proprio il risultato che hai riportato:

$\int_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} (1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1))\text{d}y = [1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} = $
$ = ... = \sqrt(5) - \sqrt(2) - log(\sqrt2) + log(2 + sqrt(2)) + log(1 + sqrt(5)) - log(3 + sqrt(5)) = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 2))/(\sqrt2(3 + sqrt(5)))] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 1))/((3 + sqrt(5)))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 + 1)(3 - \sqrt5))/((3 + sqrt(5))(3 - sqrt5))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(3\sqrt5 - 5 + 3 - \sqrt5))/4] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(2\sqrt5 - 2))/4] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 - 1))/2] $