Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 15:37

Ciao ragzzi non capisco dove sbaglio.
Cerco di scomporre l'integrale usando il metodo dei fratti semplici visto che il grado al numeratore è minore del grado al denominatore.
Procedo utilizzando il metodo ma mi ritrovo con la stessa funzione

$\int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3dt=$

$= \int (4t)/(1-t^2)^2dt$

$rarr4t=(At+B)/(1-t^2)+(Ct+D)/(1-t^2)^2$

$rarr 4t=(At+B)(1-t^2)+Ct+D$

$rarr 4t=(-A)t^3+(-B)t^2+(A+C)t+(B+D)$

$rarr {(-A=0),(-B=0),(A+C=4),(B+D=0)$

$rarr =(4t)/(1-t^2)^2$
smule98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 9 di 128
Iscritto il: 11/05/2020, 15:37

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 16:05

Perché è già decomposta in fratti semplici, neanche ne avresti bisogno poi: prova a porre $1-t^2=u$ nell'integrale.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 759 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 16:37

Non trovo vie di uscita con questa sostituzione.
Nel testo prosegue trasformando la funzione in somma di funzioni semplici in questo modo:

$-(4t)/(1-t^2)^2+(8t)/(1+t^2)^3$

Non riesco a capire come ha fatto a trovare questa somma di funzioni
smule98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 10 di 128
Iscritto il: 11/05/2020, 15:37

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 16:43

Sul tuo testo c'è scritto che $\frac{4t}{(1-t^2)^2}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$?
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 760 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 16:56

No uguale a questo $rarr (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 = $
smule98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 11 di 128
Iscritto il: 11/05/2020, 15:37

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 17:04

Che è la stessa cosa, perché $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=\frac{4t}{(1-t^2)^2}$.
Comunque andiamo bene, che testo è per curiosità? L'identità è falsa in generale, infatti se prendi $t=2$ e lo sostituisci in $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$ ti viene a sinistra $\frac{8}{9}$ e a destra un numero negativo.
Quindi ribadisco, prova la sostituzione che ti ho consigliato in
$$\int \frac{4t}{(1-t^2)^2} \text{d}t$$
Come mai dici che non trovi via d'uscita con questa sostituzione? Scriveresti i conti per favore?
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 761 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda gugo82 » 15/05/2020, 17:05

@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 23882 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda pilloeffe » 15/05/2020, 18:50

Ciao smule98,

Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:

$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3798 di 10548
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 18/05/2020, 14:04

gugo82 ha scritto:@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?


Sono delle dispense del profressore
smule98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 13 di 128
Iscritto il: 11/05/2020, 15:37

Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 18/05/2020, 14:16

pilloeffe ha scritto:Ciao smule98,

Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:

$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $

Mmh non capisco però che "regola" hai usato, cioè non fa parte degli integrali notevoli...
smule98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 14 di 128
Iscritto il: 11/05/2020, 15:37

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite