Decomposizione della funzione razionale integranda

[Mephlip]

Se applichi la sostituzione che ti ho consigliato qualche messaggio fa ti tornerà il risultato di pilloeffe, puoi provarci per favore? Magari scrivendo anche i passaggi, hai detto che non c'era via d'uscita con quella sostituzione ma mi sembra strano.

[pilloeffe]

Se applichi la sostituzione che ti ho consigliato qualche messaggio fa ti tornerà il risultato di pilloeffe

Concordo, torna anche a me...

non capisco però che "regola" hai usato, cioè non fa parte degli integrali notevoli...

Ho usato la ben nota regola di derivazione di un quoziente:

$D[(f(t))/(g(t))] = \frac{f'(t) g(t) - g'(t) f(t)}{[g(t)]^2} $

Se poni $g(t) := 1 - t^2 $, $f(t) := 2 $ il membro a destra diventa esattamente la funzione che devi integrare, quindi...

[smule98]

$\int (4t)/(1-t^2)^2dt$

$1-t^2=u rarr t=sqrt(1-u) rarr dt=1/2(1-u)du$

$\int (4sqrt(1-u))/u^2*(1/2-1/2u)du$

Qui sono un po' bloccato, potrei portare fuori il 4 ma non trovo altri passaggi utili

[Mephlip]

Non ti torna perché sbagli la derivata di $\sqrt{1-u}$; comunque è molto più comodo differenziare subito dalla sostituzione, ossia da $1-t^2=u$ giungi a $-2t \text{d}t=\text{d}u$.
Se non ti sono chiarissime queste cose il mio consiglio è quello di studiare prima per bene l'integrazione per sostituzione e poi passare allo studio della tecnica di decomposizione in fratti semplici.

[smule98]

comunque è molto più comodo differenziare subito dalla sostituzione, ossia da 1−t2=u giungi a −2tdt=du.

Però a me serve dt, dovrei comunque ottenere che $dt=-(2t)/(du)$ (?)

Non ti torna perché sbagli la derivata di 1−u−−−−−√

Giusto ti proseguo con i calcoli:

$-\int (4sqrt(1-u))/u^2*1/(2sqrt(1-u))du=-\int2/u^2du=-2\int 1/u^2du=2/u=2/(1-t^2)$

Ora dovrebbe esserci

[Mephlip]

Però a me serve dt, dovrei comunque ottenere che $dt=-(2t)/(du)$ (?)

Credo che l'operazione di dividere per $\text{d}u$ non abbia senso.
Comunque non ti serve, perché da $-2t\text{d}t=\text{d}u$ moltiplicando per $-2$ ambo i membri ottieni $4t\text{d}t=-2\text{d}u$, perciò dato che nel tuo integrale compare già il fattore $4t \text{d}t$ puoi direttamente sostituirlo con $-2\text{d}u$ (ecco perché ti dicevo che è più comodo differenziare, perché il differenziale nella nuova variabile $u$ lo hai già bello pronto).

Giusto ti proseguo con i calcoli:
$-\int (4sqrt(1-u))/u^2*1/(2sqrt(1-u))du=-\int2/u^2du=-2\int 1/u^2du=2/u=2/(1-t^2)$
Ora dovrebbe esserci

Corretto, manca solo una costante additiva $c$.

[smule98]

Comunque non ti serve, perché da −2tdt=du moltiplicando per −2 ambo i membri ottieni 4tdt=−2du, perciò dato che nel tuo integrale compare già il fattore 4tdt puoi direttamente sostituirlo con −2du (ecco perché ti dicevo che è più comodo differenziare, perché il differenziale nella nuova variabile u lo hai già bello pronto).

Ah ok ok perfetto grazie mille