Salve a tutti, stavo svolgendo un esercizio sulle serie di potenze quando mi sono reso conto di aver sbagliato senza riuscire a capire dove.
Supponiamo di voler studiare la somma della serie
$sum_{0}^{+oo}x^n/(n+1)$ che so essere uguale a $-(ln(1-x))/x$
Io procedo in questo modo, supposto $x!=0 \and abs(x)<1$
$sum_{0} x^n/(n+1)=1/x sum_{0} (x^(n+1))/(n+1)$
A questo punto chiamo $f(x)=sum_{0}(x^(n+1)/(n+1))$
$f'(x) = sum_{1}x^n \rArr f'(x) = sum_{0}x^n -1=1/(1-x)-1 \rArr f(x) = int (1/(1-x)-1)dx$
$\rArr f(x) = -ln(1-x)-x$
torno alla serie originale ed ho che $1/x*sum_{0}x^(n+1)/(n+1) = -1/x* (ln(1-x)+x)$
Che non è quanto mi aspettavo, dato che quello è il risultato della serie che parte da 1, ed ho anche notato che questa coincidenza si verifica se non sempre, spesso.
Come mai?Forse perchè aggiungendo e sottraendo nella serie derivata ho fatto qualcosa di illecito facedo tornare l'indice di partenza di quella serie a 0?
Grazie mille in anticipo