Ciao matte.c,
Sono uno studente. Quindi se sospetti che la stia sparando grossa, probabilmente hai ragione
Scrivo solo cosa farei nel modo in cui mi è stato insegnato. Magari domani se ho tempo (e se serve) posto i calcoli esplicitamente.
L'esercizio intanto non chiede quello che hai scritto tu, secondo me. Si potrebbe ri-scrivere così.
Trova gli estremi assoluti di $$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ sull'insieme $S: 0\le z\le 1-x^2-y^2$
Innanzitutto ce ne possiamo fregare della radice quadrata, perché $h(t)=\sqrt{t}$ è una funzione monotona crescente quindi i massimi restano tali e lo stesso fanno i minimi (è evidente che non abbiamo nemmeno problemi di definizione). Allora si cercano gli estremi assoluti della funzione $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sull'insieme $S$. I primi candidati ad essere estremi assoluti sono i punti interni ad $S$ con $\grad g(x,y,z) =0$ e senza perderci molto tempo esce l'origine. E questo è un candidato (riflettendoci bene, l'origine appartiene ad $S$ quindi ci aspettiamo che il punto di minima distanza dall'origine... sia l'origine stessa). Gli altri candidati sono punti in cui non esiste il gradiente: in questo caso non ne abbiamo. Ed infine, la parte un po' più lunga, sulla frontiera di $S$. Si ha: $\partial S= S_1+S_2$ con
$S_1={ ( z=0 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
e
$S_2={ ( z=1-x^2-y^2 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
Ed in questo caso bisogna trovare gli estremi assoluti delle funzioni a
due variabili:
$$g\restriction _{S_1}=x^2+y^2 $$
$$g\restriction_{S_2}=x^2+y^2+(1-x^2-y^2)^2$$
entrambi sull'insieme $E: x^2+y^2\le1$. Una volta trovati i punti si "riportano" nello spazio aggiungendo la $z$ correttamente facendo attenzione se si è in $S_1$ o $S_2$, e si confrontano i valori di $f$ calcolata su tali punti e l'origine.
Se non ti convince affatto ciò che ho scritto, aspettiamo qualcuno più esperto che conferma o smentisca