Soluzioni polinomio limitate.

[3m0o]

Sia \( f : \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+ \) tale che \( \forall x,y \in \mathbb{Q}_+ \)
\[ f(f^2(x)y)=x^3f(xy) \]

Inoltre sia \( (q_n)_{n\in \mathbb{N}} \) una successione con \(q_n \in \mathbb{Q}_{\geq 1} \) per ogni \(n \in \mathbb{N} \) e dove \(q_0=1\). Poniamo inoltre
\[ \mathcal{P} := \{ p_n \in \mathbb{Q}[x] : \deg p_n = n, p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f(q_{n-k})x^k \} \]
Per \(n \in \mathbb{N} \) fissato poniamo
\[ \mathcal{X}_n := \{ x \in \mathbb{R} : p_n(x)=0 , p_n \in \mathcal{P} \} \]

Per gli \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( \mathcal{X}_n \neq \emptyset \), dimostra che \( \left| x \right| \leq n \), per ogni \(x \in \mathcal{X}_n \).

Se \( f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \) il risultato è ancora vero?

Suggerimento

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Determinare \(f\)

[axpgn]

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Mi sa che stavolta sei andato un po' troppo oltre questa sezione

[3m0o]

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Mi sa che stavolta sei andato un po' troppo oltre questa sezione

Si, forse hai ragione, tra l'altro, causa l'orario, ho scritto male l'enunciato!! Ora lo correggo.

Edit:
Forse hai ragione, nel senso che il procedimento è difficile che uno arriva a pensarlo, ma in realtà i vari step non sono così complicati. Quindi metto in spoiler un suggerimento (molto grande) su come fare, chi vuole sbirciare sappia che è abbastanza completo quindi spoilera totalmente il modo in cui affrontare il problema.
Suggerimento:

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1) Dimostrare che l'unica scelta possibile per \( f: \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+ \) con le caratteristiche del problema è \( f(x)= \frac{1}{x} \)
1.1) Dimostrare che \(f \) è iniettiva.
1.2) Dimostrare che \(f \) è moltiplicativa.
1.3) Ponendo \(g(x)=xf(x) \), dimostrare che \( g^{n+1}(x) = (g(x))^{(5/2)^{n}} \).
1.4) Dimostrare che \( g(x) = 1 \).
2) Dimostrare che dato un generico polinomio \(p(x)= a_n x^n + \ldots +a_1x+ a_0 \) e con \( \alpha \) una radice di \(p \) abbiamo che \( \left| \alpha \right| \leq n \max_{0 \leq k \leq n} \left| a_k \right| \)
3) Concludere con il punto 1) e 2).

[3m0o]

Pubblico la soluzione:

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1) Dimostrare che l'unica scelta possibile per \( f: \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+ \) con le caratteristiche del problema è \( f(x)= \frac{1}{x} \)
1.1) Dimostrare che \( f \) è iniettiva.

Ponendo \(y=1\) allora per ogni \(x \in \mathbb{Q}_+\) otteniamo che \(f(f^2(x))=x^3f(x) \), pertanto quando \(f(x)=f(y) \) abbiamo che
\[ x^3 =\frac{f(f^2(x))}{f(x)}=\frac{f(f^2(y))}{f(y)}=y^3 \]
e dunque \(x=y \) ed \(f \) è iniettiva.

1.2) Dimostrare che \( f \) è moltiplicativa.

Inoltre abbiamo che
\[ f(f^2(xy))=(xy)^3f(xy)=y^3f(f^2(x)y)=f(f^2(x)f^2(y)) \]
Inoltre siccome \(f \) è iniettiva otteniamo \( f(xy)^2 = f(x)^2f(y)^2 \) e dunque \(f(xy)=f(x)f(y) \)
quindi \(f \) è moltiplicativa. Quindi anche \(f(1)=1 \) e \(f(x^n) = f^n(x) \) per ogni \(n \) intero.

1.3) Ponendo \( g(x)=xf(x) \), dimostrare che \( g^{n+1}(x) = (g(x))^{(5/2)^{n}} \).

Riscriviamo la relazione iniziale nel seguente modo \( f(f(x))^2f(y)=f(f^2(x)y) = x^3f(xy)=x^3f(x)f(y) \) e dunque \(f(f(x))=\sqrt{x^3f(x)} \).
Poniamo \( g(x) = xf(x) \) e abbiamo che
\[ g(g(x))=g(xf(x))=xf(x) f(xf(x)) = x f^2(x) f(f(x))= xf^2(x) \sqrt{x^3f(x)} = (xf(x))^{5/2} = g(x)^{5/2} \]

Per induzione dimostriamo dunque che \( g^{n+1}(x) = (g(x))^{(5/2)^n} \) dove con la notazione \( g^{n+1} = g \circ g \circ \ldots \circ g \).

Per ogni \(n \) intero.

1.4) Dimostrare che \( g(x) = 1 \).

Fissiamo \(x \in \mathbb{Q}_+ \). Abbiamo che \( g : \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+ \) e dunque \( g^{n+1} (x) \) è razionale per ogni \(n \) dunque anche \( g(x)^{(5/2)^n} \) è razionale. Supponiamo per assurdo che \(g(x) \neq 1 \). E consideriamo una fattorizzazione in numeri primi
\[ g(x) = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j} \]
con \( \alpha_j \in \mathbb{Z}^* \) e \( p_j \) primi distinti. Allora
\[ g^{(n+1)}(x) = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j (5/2)^n} \]
è l'unica fattorizzazione in numeri primi dove gli \( \alpha_j (5/2)^n\) sono interi. Ma questo non è vero per \(n \) sufficientemente grande, infatti basta prendere \( \alpha_j \) ed \(n \) tale che \(2^n \not\mid a_j \) e siccome \(2^n \not\mid 5^n \) abbiamo che \( \alpha_j (5/2)^n \) non è intero. Quindi \(g(x)=1\). Quindi \(f(x)= \frac{1}{x} \) e infatti soddisfa l'equazione funzionale
\[ f(f^2(x)y)=x^3f(xy) \]

2) Dimostrare che dato un generico polinomio \( p(x)= a_n x^n + \ldots +a_1x+ a_0 \), con \(a_n=1\) e con \( \alpha \) una radice di \( p \) abbiamo che \( \left| \alpha \right| \leq n \max_{0 \leq k \leq n} \left| a_k \right| \)

Supponiamo \(a_n = 1 \), se \( \left| \alpha \right| \leq 1 \) abbiamo finito. Altrimenti se \( \left| \alpha\right| > 1 \) abbiamo che
\[ - \alpha^n = a_{n-1} \alpha^{n-1} + \ldots + a_0 \]
dividendo per \( \alpha^n \) otteniamo
\[ -1 = \frac{a_{n-1}}{\alpha} + \ldots + \frac{a_0}{\alpha^n} \]
Prendiamo il valore assoluto da entrambe le parti ed applichiamo la disuguaglianza triangolare.
\[ 1 \leq \left| a_{n-1} \right| \left| \alpha \right|^{-1} + \ldots + \left| a_{0} \right| \left| \alpha \right|^{-n} \leq \left| \alpha \right|^{-1} ( \left| a_{n-1} \right| + \ldots + \left| a_{0} \right| ) \]
dunque abbiamo
\[ \left| \alpha \right| \leq n \max_{0 \leq j \leq n } \left| a_j \right| \]


3) Concludere con il punto 1) e 2).

Abbiamo che \( q_0 = 1 \) e per ogni \(n \) abbiamo che \(p_n = f(1)x^n + f(q_{1}) x^{n-1} + \ldots + f(q_n) \) abbiamo inoltre che \(f(1)=1 \) e per ogni \(k \) abbiamo che \(q_k \geq 1\) dunque \( f(q_k)= \frac{1}{q_k} \leq 1 \) pertanto se \(x \) è tale che \( p_n(x) = 0 \) risulta che \( \left| x \right| \leq n \).

Se \(f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \) il risultato non è più vero poiché ad esempio \(f(x)= x^{3/2} \) è un altra soluzione per \(f\), in effetti il punto 1.4) della dimostrazione non è più applicabile in quanto \(g(x) \) non è necessariamente un razionale.