Insiemi compatti in spazi topologici

[Silent]

Ho letto la dimostrazione di questo fatto:

A subset \(\displaystyle K \) of a topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a compact subset of \(\displaystyle X \) if and only if \(\displaystyle K \) is compact as a subset of itself with the topology induced from \(\displaystyle (X,\tau) \).

e fin qui chiaro, tutto ok.
Successivamente, mi viene proposta la seguente considerazione aggiuntiva: quanto dimostrato fa vedere come la proprietà di compattezza di un insieme è assoluta e non dipende dall'insieme "ambiente".
Non ho ben capito perché. Nonostante la proposizione dimostrata, non potrebbe comunque esistere un altro spazio topologico \(\displaystyle (Y,\tau ') \) (\(\displaystyle K\subset Y \)) in cui da qualunque copertura di \(\displaystyle K \) fatta di elementi di \(\displaystyle \tau ' \) non si riesce mai ad estrarre una sottocopertura finita?

[dissonance]

Si. Ma infatti è sottointeso che \(\tau\) è fissata una volta per tutte.

[Silent]

Ottimo, grazie del chiarimento.