In realtà è corretta la soluzione, ma è sbagliata l'equazione differenziale...
Infatti indicando con $V_C(t) $ la differenza di potenziale fra le armature del condensatore $C$ all’istante $t$, applicando la
legge di Kirchhoff delle maglie al circuito $RC$ si ha:
$\epsilon - V_C(t) = Ri(t) $
Tenendo conto che $V_C(t) = (Q(t))/C $ e $i(t) = \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:
$ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} = \epsilon/R - (Q(t))/(RC) $
Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili. Separando quindi le variabili $Q$ e $t$ si ha:
$ \frac{\text{d}Q}{Q - \epsilon C} = - \frac{\text{d}t}{RC} $
Integrando ambo i membri fra l’istante $t = 0 $ di chiusura dell’interruttore (quando $t = 0 $ si ha $Q(0) = 0 $) ed il generico istante $t$ si ha:
$\int_{Q(0) = 0}^{Q(t)} \frac{\text{d}q}{q - \epsilon C} = - \int_0^t \frac{\text{d}\theta}{RC} $
$[ln|q - \epsilon C|]_0^{Q(t)} = - [\frac{\theta}{RC}]_0^t $
$ ln[\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C}] = - \frac{t}{RC} $
ove il modulo è stato omesso in quanto sicuramente $ Q(t) - \epsilon C < 0 $ e quindi $\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} > 0 $. Infatti $\epsilon C $ è il massimo valore che può assumere la carica $Q(t) $ sull’armatura positiva del condensatore, perché quando $ Q(t) = \epsilon C $ la differenza di potenziale $V_C(t) = (Q(t))/C $ ha raggiunto il valore $V_C(t) = \epsilon $, cioè è uguale alla forza elettromotrice della batteria, la quale non è quindi più in grado di far circolare alcuna carica essendoci nel circuito una differenza di potenziale uguale ed opposta che la contrasta. Passando dal logaritmo al suo argomento si ha:
$ \frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} = e^{- \frac{t}{RC}} $
Dopo qualche semplice passaggio si ottiene proprio quanto ti ho già scritto nel mio post precedente:
$ Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $