Determinare gli estremi di f(x,y) con il vincolo g(x,y)=0 sia esplicitando il vincolo sia usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Dove
$ f(x,y)=x^2 + 3y $
e
$ g(x,y)= x^2/4 + y^2/9 -1 = 0 $
Il mio dubbio è il seguente: se da g(x,y) esplicito x in funzione di y non ottengo soluzioni, mentre se esplicito y in funzione di x o uso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange mi escono soluzioni. Perché esplicitando x non mi escono soluzioni?
Per evitarvi i calcoli li faccio io.
Nel caso esplicito x da g(x,y) ottengo: $ x= +- 2 sqrt(1-y^2/9) $ con $ y in [-3,3] $
sostituendo in f(x,y) ottengo $ 4(1-y^2/9)+3y= -4/9y^2+3y+4 $
Calcolo la derivata e la pongo = 0 per trovare i punti stazionari (Teorema di Fermat). Si ha:
$ -8/9y + 3 = 0 rArr y= 27/8 $ ma la soluzione non appartiene all'intervallo [-3,3] quindi il sistema non ha soluzioni.
Se provo a risolvere esplicitando y o usando i moltiplicatori di Lagrange tutto va liscio.