cambio di variabile integrali impropri

[Pippo99911]

Salve, se dovessi fare il seguente tipo di sostituzione: x'=-x, come diventerebbe il seguente integrale?
$ int_(-oo )^(+oo )x dx $

La mia idea è che gli estremi si invertono, ovvero -oo diventa +oo, e +oo diventa -oo, pero poi ci sarebbe d(-x') , che farebbe invertire gli estremi, e di fatto riportare alla situazione iniziale. Quindi secondo me cambierebbe solo che appare all'interno dell'integrale -x.
Dite la vostra.

[gugo82]

Beh, basta fare i conti:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \text{d} x \stackrel{x^\prime = -x}{=} \int_{+\infty}^{-\infty} -x^\prime\ (-1)\ \text{d} x^\prime = -\int_{-\infty}^{+\infty} x^\prime\ \text{d} x^\prime \; .$$

Tuttavia, questo è solo un giochetto puramente formale, giacché l'integrale improprio $\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \text{d} x$ non esiste.

[Pippo99911]

Beh, basta fare i conti:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x\ \text{d} x \stackrel{x^\prime = -x}{=} \int_{+\infty}^{-\infty} -x^\prime\ (-1)\ \text{d} x^\prime = -\int_{-\infty}^{+\infty} x^\prime\ \text{d} x^\prime \; . \]

Tuttavia, questo è solo un giochetto puramente formale, giacché l'integrale improprio $ \int_{-\infty}^{+\infty} x\ \text{d} x $ non esiste.

Ok grazie , hai confermato quello che pensavo.

[gugo82]

Prego.

Ma mi preme veramente che tu abbia ben chiaro che:

l'integrale improprio $ \int_{-\infty}^{+\infty} x\ \text{d} x $ non esiste.

in quanto è la cosa più importante scritta nel mio post precedente.

[Pippo99911]

Si mi è chiaro, ringrazio comunque per la precisione, e può essere utile per chi leggerà il post successivamente.
L'integrale lo avevo posto così solo per mettere in evidenza facilmente i passaggi.