Bianco17 ha scritto:In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti
È giusto come approccio ma c'è un problema sottile nel tuo ragionamento che è il seguente.
Supponi che \(a = 0 \) come dici giustamente c'è solo un punto estremante, che è un massimo o un minimo a dipendenza del segno della funzione, quindi a dipendenza del segno di \(b \).
Ma non c'è nulla nel tuo ragionamento che mi esclude questa cosa. Mi spiego meglio.
Supponiamo per un momento che \(a = 0 \), se il tuo ragionamento è corretto non dovrebbe applicarsi a questo caso, ma non vi è nulla che lo esclude.
\[ \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0 \]
dunque scegliendo \( [ - N, N] \subset [\alpha, \beta ] \), abbiamo per il teorema di Weierstrass, che esistono, comunque scelto \(b \), un minimo ed un massimo assoluto per \(g \) su \( [\alpha, \beta] \).
Ma la funzione \(g \) su \( \mathbb{R} \) ammette un massimo oppure un minimo, ma non entrambi.
Per il seguito suppongo \(b >0 \). Il problema è che stai fissando un intervallo che dipende da \( \epsilon \), poiché deve includere \( [-N,N]\), se prendi un altro \( \epsilon \) dovrai prendere un altro intervallo \(N\) e dunque un altro intervallo \( [ \alpha, \beta] \). Considerando una successione di intervalli \( [ \alpha_1,\beta_1] \subset [\alpha_2, \beta_2] \subset ... \subset [\alpha_n, \beta_n ] \subset ... \) il minimo diviene sempre più piccolo e si avvicina sempre più a \(0 \), ma \(0 \) non viene mai raggiunto, quindi non puoi concludere che su \( \mathbb{R} \) c'è un minimo per questo motivo qui.
Devi escludere questa possibilità nel tuo ragionamento altrimenti è falso. E per fare ciò è sufficiente notare che \(g(x) \) cambia di segno una volta, infatti \( a \neq 0 \) per ipotesi e \( g(x)=(ax+b)e^{x-x^2} \), abbiamo chiaramente che \(e^{x-x^2} >0 \) mentre \( ax+b=0 \) con \(x = -b/a \).
Dunque, ad esempio con \(a,b >0 \), e gli altri casi sono analoghi, abbiamo che con \( x \to \infty \) la funzione \( g \) va a zero da sopra poiché è positiva, mentre con \( x \to - \infty \) abbiamo che \(x \to -\infty \) la funzione \(g \) va a zero da sotto poiché è negativa.
Io farei così
Fissiamo \( x_1,x_2 \in \mathbb{R} \) tale che \( g(x_1) = \beta >0 \) e \( g(x_2) = \alpha < 0\), siccome \( \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0 \) esiste un \( \tilde{N} \) tale che \( 0 < g(x) < \beta \) per ogni \( x > \tilde{N} \) e \( \alpha < g(x) < 0 \) per ogni \( x < - \tilde{N} \). Inoltre possiamo scegliere \( [x_1,x_2] \subset [- \tilde{N}, \tilde{N} ] \) oppure \( [x_2,x_1] \subset [- \tilde{N}, \tilde{N} ] \)
Infatti
Fissiamo \( \epsilon >0 \), abbiamo che esistono \( N_1, N_2>0 \) tale che \( \forall x > N_1 \) risulta che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) e \( \forall x < - N_2 \) abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \).
Definiamo \( N:= \max \{N_1,N_2, \tilde{N} \} \). Per Weierstrass su \( [-N,N] \) abbiamo che \(g \) raggiunge un massimo ed un minimo assoluto, che chiamerò rispettivamente \(M\) ed \(m \), ovvero esistono \(x_M, x_m \in [-N,N] \) tale che \( g(x_M)=M \) e \( g(x_m)=m \). Per definizione di N, abbiamo che per ogni \( x\in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \) risulta che \( m < g(x) < M \).
E come puoi notare cambiando la scelta di \( \epsilon \), ovvero diminuendolo, in generale puoi aumentare \(N \) e quindi il \(g \) nell'insieme \( \mathbb{R} \setminus [-N,N] \) diviene sempre più vicino a \(0 \), quindi non è più un problema cambiare \( \epsilon \). Nel tuo ragionamento sopra potrebbe essere problematico, a priori, scegliere un \( \epsilon \) differente.