Errore relativo ed assoluto di numeri denormalizzati

Messaggioda FrancoSpera » 28/05/2020, 00:25

Salve a tutti, sto studiando il libro Matematica Numerica di Quarteroni ed ho trovato una domanda alla fine del capitolo 2 che vi riporto:

Si consideri l’insieme dei numeri denormalizzati `F_D` e si studi l’andamento della distanza assoluta e della distanza relativa fra due di questi numeri. Si ritrova il fenomeno della wobbling precision?
[Suggerimento: per questi numeri si perde l’uniformità della densità relativa. Di conseguenza la distanza assoluta rimane costante (pari a `β^(-L-t)` ), mentre quella relativa cresce rapidamente per x che tende a zero.]


Il suggerimento da già una risposta, evidentemente, ma ho cercato di mettermi alla prova nel dare una risposta il più possibile argomentata e mi pare corretta, sebbene la parte finale perda un po' di 'matematichese' perché non riesco a scrivere quei concetti in formule, essendo alle prime armi con questa materia gradirei avere un riscontro da chi ha più confidenza con questi temi.

Io l'ho argomentata così

Nell'insieme `F_D` `(B,t,L,U)` dei numeri macchina ( dove `B` è la base, `t` il numero di cifre significative, `L` e `U` rispettivamente il minimo ed il massimo valore dell'esponente, presi in valore assoluto ), una volta fissato l'esponente `e`, posso rappresentare `(B-1)*B^(t-1)` elementi equispaziati a una distanza pari a `d = B^(e-t)`, ed il numero di elementi rappresentabili non cambia al variare dell’esponente. Quando scendo nei numeri denormalizzati invece, l’esponente mantiene fisso il valore `e = -L-t` , ma diminuisce il numero di valori rappresentabili per ogni ordine di grandezza perché posso usare sempre meno cifre.
La distanza tra due numeri consecutivi non cambia, ed è `B^(-L-t)`, quindi dato che la spaziatura è costante ed il numero di valori rappresentabili decresce col decrescere dell’ordine di grandezza, la distanza relativa aumenta ben oltre il limite di precisione di macchina.

Vi ringrazio in anticipo per il tempo speso.
FrancoSpera
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