Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda Bianco17 » 27/05/2020, 12:03

La mia prof di matematica e fisica ci ha proposto la simulazione della seconda prova 2019 come esercizio da esporre alla simulazione del colloquio. È una simulazione non troppo difficile ma mi sono chiesto se la prima richiesta sui massimi e i minimi di una funzione potesse essere trattata facendo utilizzo del teorema di Weierstrass, senza ricorrere a calcoli sulla derivata prima. La traccia è:
"Si consideri $g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2}$: provare che, comunque siano scelti i valori di $a,b\in\mathbb{R}$ con $a\ne 0$, la funzione ammette un massimo e un minimo assoluti. […]"
In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti :D
Bianco17
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda 3m0o » 27/05/2020, 13:24

Bianco17 ha scritto:In primis, ho notato che $$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon$$ per cui, scelti $\alpha<-N, \beta>N$, $g(x)$ è definita e continua su $[\alpha,\beta]$. Supposto $a\ne0$ (poiché altrimenti avremmo un unico punto estremante, o minimo per $b<0$ o massimo per $b>0$ su tutto \(\mathrm{Dom}\,g\)), allora, per il teorema di Weierstrass, esistono, comunque scelti i parametri e l'intervallo, un unico punto di minimo e un unico punto di massimo per $g(x)$ distinti su $[\alpha,\beta]$.
È giusto come approccio? La cosa che più mi fa dubitare è la conclusione… Aspetto pareri più esperti :D

È giusto come approccio ma c'è un problema sottile nel tuo ragionamento che è il seguente.
Supponi che \(a = 0 \) come dici giustamente c'è solo un punto estremante, che è un massimo o un minimo a dipendenza del segno della funzione, quindi a dipendenza del segno di \(b \).
Ma non c'è nulla nel tuo ragionamento che mi esclude questa cosa. Mi spiego meglio.
Supponiamo per un momento che \(a = 0 \), se il tuo ragionamento è corretto non dovrebbe applicarsi a questo caso, ma non vi è nulla che lo esclude.
\[ \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0 \]
dunque scegliendo \( [ - N, N] \subset [\alpha, \beta ] \), abbiamo per il teorema di Weierstrass, che esistono, comunque scelto \(b \), un minimo ed un massimo assoluto per \(g \) su \( [\alpha, \beta] \).
Ma la funzione \(g \) su \( \mathbb{R} \) ammette un massimo oppure un minimo, ma non entrambi.
Per il seguito suppongo \(b >0 \). Il problema è che stai fissando un intervallo che dipende da \( \epsilon \), poiché deve includere \( [-N,N]\), se prendi un altro \( \epsilon \) dovrai prendere un altro intervallo \(N\) e dunque un altro intervallo \( [ \alpha, \beta] \). Considerando una successione di intervalli \( [ \alpha_1,\beta_1] \subset [\alpha_2, \beta_2] \subset ... \subset [\alpha_n, \beta_n ] \subset ... \) il minimo diviene sempre più piccolo e si avvicina sempre più a \(0 \), ma \(0 \) non viene mai raggiunto, quindi non puoi concludere che su \( \mathbb{R} \) c'è un minimo per questo motivo qui.

Devi escludere questa possibilità nel tuo ragionamento altrimenti è falso. E per fare ciò è sufficiente notare che \(g(x) \) cambia di segno una volta, infatti \( a \neq 0 \) per ipotesi e \( g(x)=(ax+b)e^{x-x^2} \), abbiamo chiaramente che \(e^{x-x^2} >0 \) mentre \( ax+b=0 \) con \(x = -b/a \).
Dunque, ad esempio con \(a,b >0 \), e gli altri casi sono analoghi, abbiamo che con \( x \to \infty \) la funzione \( g \) va a zero da sopra poiché è positiva, mentre con \( x \to - \infty \) abbiamo che \(x \to -\infty \) la funzione \(g \) va a zero da sotto poiché è negativa.
Io farei così

Fissiamo \( x_1,x_2 \in \mathbb{R} \) tale che \( g(x_1) = \beta >0 \) e \( g(x_2) = \alpha < 0\), siccome \( \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0 \) esiste un \( \tilde{N} \) tale che \( 0 < g(x) < \beta \) per ogni \( x > \tilde{N} \) e \( \alpha < g(x) < 0 \) per ogni \( x < - \tilde{N} \). Inoltre possiamo scegliere \( [x_1,x_2] \subset [- \tilde{N}, \tilde{N} ] \) oppure \( [x_2,x_1] \subset [- \tilde{N}, \tilde{N} ] \)
Infatti
Fissiamo \( \epsilon >0 \), abbiamo che esistono \( N_1, N_2>0 \) tale che \( \forall x > N_1 \) risulta che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) e \( \forall x < - N_2 \) abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \).

Definiamo \( N:= \max \{N_1,N_2, \tilde{N} \} \). Per Weierstrass su \( [-N,N] \) abbiamo che \(g \) raggiunge un massimo ed un minimo assoluto, che chiamerò rispettivamente \(M\) ed \(m \), ovvero esistono \(x_M, x_m \in [-N,N] \) tale che \( g(x_M)=M \) e \( g(x_m)=m \). Per definizione di N, abbiamo che per ogni \( x\in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \) risulta che \( m < g(x) < M \).
E come puoi notare cambiando la scelta di \( \epsilon \), ovvero diminuendolo, in generale puoi aumentare \(N \) e quindi il \(g \) nell'insieme \( \mathbb{R} \setminus [-N,N] \) diviene sempre più vicino a \(0 \), quindi non è più un problema cambiare \( \epsilon \). Nel tuo ragionamento sopra potrebbe essere problematico, a priori, scegliere un \( \epsilon \) differente.
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda Bianco17 » 27/05/2020, 17:43

Dunque il mio sospetto era fondato… In effetti quel ragionamento su $a\ne0$ mi lasciava un po' perplesso ma non mi era venuto in mente che potesse inficiare il resto della dimostrazione.
Grazie mille, per il momento mi sembra tutto chiaro!
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda 3m0o » 27/05/2020, 19:55

Bianco17 ha scritto:Dunque il mio sospetto era fondato… In effetti quel ragionamento su $a\ne0$ mi lasciava un po' perplesso ma non mi era venuto in mente che potesse inficiare il resto della dimostrazione.
Grazie mille, per il momento mi sembra tutto chiaro!

No, mi sono spiegato male, il ragionamento tuo \( a \neq 0 \) non è necessario, poiché lo hai come ipotesi, ma non è sbagliato. Mi era facile spiegare il problema della tua dimostrazione con \( a = 0 \) per mostrarti come a priori non puoi concludere che vi sia un massimo e un minimo assoluti, infatti con il tuo ragionamento, il massimo e il minimo assoluto sul tuo \( [\alpha, \beta] \) non lo puoi estendere così facilmente su \( \mathbb{R} \) perché non è evidente che siano anche massimi e minimi assoluti su \( \mathbb{R} \) se lo sono su \( [\alpha,\beta] \), in realtà nel tuo caso lo sono tranne con \(a=0 \), ma non è evidente e lo devi giustificare in modo più preciso.
Ho preso \( a = 0 \) perché è l'unico caso in cui hai un controesempio, e questo è il motivo per cui tra le ipotesi mette \( a \neq 0 \), e non mi è venuto in mente un altro modo per spiegarti qual'è il problema.
Il problema non \(a \), ma sono gli intervalli \( [ \alpha, \beta] \) che prendi.
Invece con il mio se un punto è massimo o minimo su \([-N,N]\), con \(N\) sufficientemente grande, allora è necessariamente anche un massimo o minimo assoluto su \( \mathbb{R} \).

Edit:
In sostanza, la tua dimostrazione non è sbagliata, ma direi che è incompleta, nel senso che devi giustificare meglio il motivo per cui il massimo e il minimo assoluto su \( [\alpha,\beta] \) sono anche massimo e rispettivamente minimo assoluto su \( \mathbb{R} \), dopo di ché va bene. :smt023 :wink:

Edit 2 (editato anch'esso :-D ):
Prova a completare la tua dimostrazione! :wink:
... basta una riga ben fatta, nulla di trascendentale, ma che senza non è "chiaro" il motivo per cui la dimostrazione è valida. In generale è buona regola che se una cosa ti appare non evidente, richieda una giustificazione, solo quando la giustificazione è evidente allora puoi tralasciarla, e dal momento che la conclusione ti preplime deduco che non ti appaia chiara.

Edit 3:
Ah... mi raccomando non tralasciare giustificazioni nelle verifiche, che il loro obbiettivo, tra le altre cose, è proprio capire se uno sa giustificare le cose o meno, o almeno io la penso così! :lol: :lol:
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda Bianco17 » 28/05/2020, 00:39

Edit:
In sostanza, la tua dimostrazione non è sbagliata, ma direi che è incompleta, nel senso che devi giustificare meglio il motivo per cui il massimo e il minimo assoluto su \( [\alpha,\beta] \) sono anche massimo e rispettivamente minimo assoluto su \( \mathbb{R} \), dopo di ché va bene. :smt023 :wink:

Edit 2 (editato anch'esso :-D ):
Prova a completare la tua dimostrazione! :wink:
... basta una riga ben fatta, nulla di trascendentale, ma che senza non è "chiaro" il motivo per cui la dimostrazione è valida.


Ok, capisco il punto. L'inesattezza sta nella mancata giustificazione della validità di estendere l'esistenza e l'unicità dei punti estremanti dall'intervallo limitato $[\alpha, \beta]$ a tutto $\mathbb{R}$. Provo a dare una nuova dimostrazione che tenga conto di questo elemento :roll:

Posto $\a\ne0$, \(g(-\frac ba)=0\). Siano, senza ledere in generalità, $a,b>0$ per cui \(\exists x_1<-\frac ba, x_2>-\frac ba:g(x_1)<0<g(x_2)\). Preso $N>0$ sufficientemente grande, poiché $\lim_{x\to\pm\infty} g(x)=0$, risulta \(\forall x<-N\, g(x_1)<g(x)<0\) e \(\forall x>N \,0<g(x)<g(x_2)\). Quindi, per il teorema di Weierstrass, essendo $g(x)$ continua su \([-N,N]\), essa ammette un unico minimo \(m=\min_{[-N,N]} g\) e un unico massimo \(M=\max_{[-N,N]} g\), entrambi assoluti. Si costruisca una successione di intervalli sempre più ampi \([-N_i,N_i]\supset \cdots\supset[-N_1,N_1]\supset[-N,N]\) tali che \( \forall x\in[-N_i,N_i] \,g(x_1)<g(-N)<g(-N_1)<\cdots<g(-N_i)<g(x)<0\) e \(0<g(x)<g(N_i)<\cdots<g(N_1)<g(N)<g(x_2)\): quale che sia la sua ampiezza, risulterà sempre che \(g([-N_i,N_i])=[m,M]\), quindi $m$ ed $M$ esistono unici e sono estremanti per $g(x)$ su qualsiasi intervallo si consideri.
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda 3m0o » 28/05/2020, 01:05

Si, mi pare giusto! Hai capito il concetto che ci sta dietro, ma a parer mio l'hai scritto in modo un po' confuso e la fai più complicata di com'è, forse anche a causa mia che ti ho un po' confuso le idee inizialmente.

Bastava dire questo:
Bianco17 ha scritto:In primis, ho notato che \[ \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N(\varepsilon)>0, |x|>N(\varepsilon):|g(x)|<\varepsilon \] per cui, scelti $ \alpha<-N, \beta>N $, $ g(x) $ è definita e continua su $ [\alpha,\beta] $.

Allora, per il teorema di Weierstrass, comunque scelti \(a\) e \(b\), \(g\) raggiunge un punto di minimo, detto \(m\), e un punto di massimo, detto \(M\), assoluti su $ [\alpha,\beta] $.
Da aggiungere:
Inoltre siccome \( a \neq 0 \) e siccome \( g(-b/a)=0 \) abbiamo che possiamo scegliere \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo (dunque cambiare \([-N,N] \subset [\alpha, \beta ] \) ) tale che risulta \( \epsilon \leq \left| m \right| \) e \( \epsilon \leq M \).
Ora poiché per \( x \in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \supset \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta] \), abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) risulta anche \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \).
Fine.

Questo è sufficiente poiché quando \( g(x) < 0 \) abbiamo che \( m < g(x) \) e quando \(g(x) >0 \) abbiamo che \( g(x) < M \). Ora sicché, \(m \) ed \(M\) sono rispettivamente minimo e massimo su \( [\alpha, \beta] \) (determinato dalla scelta di \( \epsilon \), ma non va bene qualunque), e per quanto detto qui sopra, abbiamo che \( m \) ed \(M\) sono minimo e massimo pure su \( \mathbb{R}\).

Sono stato volutamente esuastivo.
Edit:
Come puoi vedere l'ipotesi \( a \neq 0 \) è fondamentale altrimenti l'ultima giustificazione che ho scritto
Inoltre siccome \( a \neq 0 \) e siccome \( g(-b/a)=0 \) abbiamo che possiamo scegliere \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo (dunque cambiare \([-N,N] \subset [\alpha, \beta ] \) ) tale che risulta \( \epsilon \leq \left| m \right| \) e \( \epsilon \leq M \).
Ora poiché per \( x \in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \supset \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta] \), abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) risulta anche \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \).

non risulta più essere vero, in particolare avremmo che una delle due disuguaglianze seguenti (a dipendenza del segno di \(b\)) \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \), non sarebbe vera! E in tal caso il minimo \(m \) (oppure il massimo \(M\)) continuerebbe a decrescere (risp. crescere) a \(0\) non rendendolo più minimo (risp. massimo) assoluto di \(g \) su \( \mathbb{R}\).
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Re: Problema n.1 simulazione maturità 2019

Messaggioda Bianco17 » 29/05/2020, 10:05

Perdonami il ritardo ma per qualche oscuro motivo il forum non mi permetteva di postare o rispondere a nulla... Comunque, sono contento di essermi avvicinato anche se, leggendo
3m0o ha scritto:Inoltre siccome \( a \neq 0 \) e siccome \( g(-b/a)=0 \) abbiamo che possiamo scegliere \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo (dunque cambiare \( [-N,N] \subset [\alpha, \beta ] \) ) tale che risulta \( \epsilon \leq \left| m \right| \) e \( \epsilon \leq M \).
Ora poiché per \( x \in \mathbb{R} \setminus [-N,N] \supset \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta] \), abbiamo che \( \left| g(x) \right| \leq \epsilon \) risulta anche \( \left| g(x) \right| \leq \left| m \right| \) e \( \left| g(x) \right| \leq M \).

mi sono ritrovato con la mia primissima idea di conclusione della dimostrazione :shock: : rileggendo questo mio iniziale approccio prima di scrivere quest'argomento, mi era sembrato un po' campato in aria e ho tentato un'altra via che, evidentemente, era meno completa.
Anche se per la terza volta, credo sia davvero tutto chiaro ora. Ti ringrazio ancora tantissimo per la tua pazienza! :heart:
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