Qui la mia soluzione, con trigonometria
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Chiamo $ theta $ l'angolo tra i lati $ a $ e $ b $ quindi scrivo
$ S= 1/2ab sintheta $
e utilizzando il teorema del coseno, scrivo
$ c^2=a^2+b^2-2abcostheta $
quindi la disuguaglianza $ a^2+b^2+c^2>=4sqrt(3)S $ diventa
$ 2a^2+2b^2-2abcostheta ge (4sqrt(3)ab sintheta)/2 $
quindi
$ a^2+b^2ge ab(costheta+sqrt3sintheta) $
proviamo a maggiorare o massimizzare $ (costheta+sqrt3sintheta) $, quindi scriviamo
$ (costheta+sqrt3sintheta) = 2(1/2costheta+sqrt3/2sintheta) $
qui uso la formula per il seno della somma
$ 2(1/2costheta+sqrt3/2sintheta)=2sin(theta+pi/6) $
e quindi siccome $ -1lesin(theta+pi/6)le1 $ allora $ ab(costheta+sqrt3sintheta)le2ab $
quindi riscrivo la disuguaglianza completa, che diventa
$ a^2+b^2ge 2ab $ e da qui banalmente $ a^2+b^2-2ab=(a-b)^2ge0 $ quindi la disuguaglianza è sempre vera.