Dubbi riguardo esercizi sulla disuguaglianza di Čebyšëv

Messaggioda TroppiDubbi » 29/05/2020, 23:58

Buongiorno, in università la disuguaglianza di Čebyšëv mi è stata presentata nel seguente modo:
$P(|X-E(X)|>=\epsilon)<=(Var(X))/\epsilon^2$ con $X$ variabile aleatoria, $E(X), Var(X)$ rispettivamente valore atteso e varianza di $X$, ed $\epsilon$ un valore qualsiasi positivo.

L'esercizio che mi provoca dubbi è il seguente: settimanalmente si effettua un'estrazione di 5 palline da un'urna contenente 90 palline numerate. Si definisce p come la probabilità che esca la pallina numero 49 in una singola estrazione.

Svolgendo le prime richieste (che non riporto) si trova che $p=1/18$, si definisce X="numero di volte che esce il 49 in un anno", quindi si trova che X è una VA binomiale con $n=52, p=1/18$, e quindi che $E(X)=52/18, Var(X)=52/18 *17/18$.
Successivamente si definisce Y="numero di prove necessarie perché un 49 esca". Y è quindi una VA geometrica di parametro $p=1/18$ con $E(Y)=18, Var(Y)=17 *18$. E fin qui tutto ok.

L'ultima domanda chiede di stimare tramite la disuguaglianza di Čebyšëv (nonostante il valore esatto si possa calcolare facilmente in altro modo) la probabilità che il 49 non esca nelle prime 36 estrazioni. In sostanza $P(Y>36)=?$.

Il professore risolve questo esercizio scrivendo $P(Y>36)<=P(|Y-E(Y)|>=18)<=(Var(Y))/18^2$
Quello che non capisco è il perché del primo minore-uguale, siccome $|Y-E(Y)|=|Y-18|$ allora $|Y-18|>=18$ significa $Y-18<=-18 or Y-18>=18$ che implica $Y<=0 \or Y>=36$, siccome $Y<=0$ non ha significato scrivo solamente $P(Y>=36)<=(Var(Y))/18$ ma a questo punto il primo minore-uguale scritto dal professore dovrebbe essere soltanto un minore siccome $P(Y>36)<P(Y>=36)$.
TroppiDubbi
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