Rotore di un campo magnetico

[Flamber]

Ho un dubbio su un concetto presentato in un corso. Per dirla in modo intuitivo e molto informale, ho sempre pensato al rotore di un campo vettoriale in un punto $P$ come ad un modo per quantificare quanto (e in che verso) un campo vettoriale "ruota" attorno a tale punto.

Considerando un campo magnetico $\vecB$ generato da un filo percorso da corrente elettrica, si ottiene che $"rot"\vecB=\vec\nabla^^\vecB=(0,0,0)$ in ogni punto dello spazio.

Dal punto di vista matematico, non ho problemi, svolgo i calcoli e mi viene che $\vecB$ è irrotazionale, ma dal punto di vista concettuale vedo che il campo "ruota" evidentemente attorno al filo, è questo non è compatibile con la mia idea "intuitiva e informale". Sbaglio io a vederla così? C'è un modo per definire meglio, ma sempre "informalmente" cosa definisce il rotore?

[dissonance]

Quel rotore non è nullo: è tutto concentrato sul filo. Si tratta di una delta di Dirac.

[Flamber]

Ok, il problema però è che il rotore si definisce solo nei punti del dominio, e i punti del filo non appartengono al dominio.

Chiedevo questo perchè tipicamente questo esempio viene utilizzato da molti libri di analisi quando si parla del di campi conservativi. In particolare il mio libro dimostra che $"conservativo"rArr"irrotazionale"$, ma che l'implicazione inversa $"irrotazionale"rArr"conservativo"$ vale solo per insiemi semplicemente connessi.

Ripeto il ragionamento a mio beneficio per chiederti se ho capito:

A meno di una costante, considerando una corrente che scorre lungo l'asse z, nel piano xy si ha:

$\vecB=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0)$

Il campo è quindi definito ovunque, tranne che nell'origine, e costituisce un esempio di campo irrotazionale (perchè il rotore si definisce solo nei punti del dominio, ed è nullo ovunque), ma non conservativo ( e infatti ci troviamo nel caso in cui il dominio di $\vecB$ non è semplicemente connesso a causa del "buco" nell'origine).

Se però ci riportiamo nell'ambito delle funzioni generalizzate, essendoci una "singolarità" in tutti i punti $(0,0,z)$ dove $||\vecB||rarr+oo$, si ha che in tali punti il rotore ha modulo infinito ed è diretto nel verso della corrente, quindi si può idealizzare come una delta di dirac.

Tutto giusto?