Equazione di D'Alembert

[Palliit]

Ciao,

mi piacerebbe approfondire come si trovi l'equazoione di d'Alambert partendo da zero. Mi è cioè chiaro che una funzione che la rispetti (che sia una funzione descrivente una pressione, uno spostamento o quant'altro) è un onda meccanica elastica (non ho ancora fatto elettromagnetismo, quindi parlo solo di onde nei mezzi).

Però non mi è stato spiegato come ci si arrivi a tale equazione, cioè perché se la rispetta è un'onda non mi è del tutto chiaro e credo possa chiarirmelo solo capire come ci si sia arrivati a quella equazione differenziale. Mi sembra calata dall'alto ma non vedo il percorso per costruirla.

[mgrau]

Prova a guardare qui

[alifasi]

Ciao mgrau, grazie per la dirimente lettura.

C'è un passaggio che non mi è molto chiaro, dove dice: "Il moto della corda è solo trasversale, perciò l'accelerazione della corda è solo lungo l'asse y. Il secondo membro dell'equazione di Newton (massa per accelerazione) si scrive allora"

Ho capito che y è la funzione d'onda che mi descrive lo spostamento trasverso, tuttavia qui scrive



questo vuol dire che y cambia nei due estremi, però quando applica la seconda di Newton calcola l'accelerazione come derivata di y rispetto al tempo, e prendo una y qualsiasi tra x e x+dx.

Mi perplime un po' questo passaggio che non afferro appieno, perché è come se prima ammettesse che ho valori diversi di y lungo il pezzettino di corda infinitesimo, però poi deriva rispetto al tempo una y fissa per tutto il pezzettino.
Ma in quali dei due estremi (cioè prendo y(x) o y(x+dx) ) derivo rispetto al tempo.

Inoltre da una parte il $partialy$ dice quanto incrementa la y nello spostamento tra i due estremi nel tratto $partialx$ e lo confronta con un $partialy$ nel variare del tempo. Però a me sembra i due incrementi di y siano ben diversi come significato nelle due trattazioni.

[mgrau]

Non vedo cosa ci trovi di strano. Si tratta di valutare la derivata di y rispetto a x nei due punti, $x _0 + dx$ e $x_0$, fare la differenza, e dividerla per $dx$, che significa proprio la derivata seconda di y rispetto a x, valutata in $x_0$

[alifasi]

[Edit: correggo svista]

scusami ma devo essermi spiegato male perché quello mi è chiaro.

Quello su cui chiedevo lumi era il passaggio:

Il moto della corda è solo trasversale, perciò l'accelerazione della corda è solo lungo l'asse y. Il secondo membro dell'equazione di Newton (massa per accelerazione) si scrive allora


Non mi torna per i motivi detti sopra ossia, la derivata che tu indichi rispetto a x si rifà allo "spostamento" infinitesimo $partialy$ che subisce la corta spostandoci del tratto, sempre infinitesimo, da x a x+dx.

Mentre nel caso della formula qui scritta, a me pare che prenda un dy in un tempo dt, ma non usa lo stesso dy della formula del post precedente, perché quello non è uno spostamento nel tempo. Cioè sono proprio due spostamenti infinitesimi diversissimi per informazione contenuta.

Eppure alla fine va a confrontarli, come fossero della stessa natura:



Ma io continuo a vederci due dy diversi in significato.

[alifasi]

Nessuno potrebbe aiutarmi nell'interpretazione? Se ho spiegato male ci riprovo e mi scuso. però non riesco bene a interpretare la cosa