Come da titolo, ho una domanda abbastanza secca da cui purtroppo non riesco a uscire nonostante le ore dedicatele.
Mi trovo in uno spazio vettoriale $X$ normato, di dimensione finita. Questo ovviamente è anche uno spazio metrico \(\displaystyle (X,d) \) dove \(\displaystyle d \) è la metrica naturale indotta dalla norma \(\displaystyle |\cdot |_X \).
In tale spazio individuiamo l'insieme dei vettori a norma unitaria \(\displaystyle X_1:=\{x\in X |\; |x|_X=1\} \).
Sono riuscito a dimostrare che tale insieme è chiuso in $(X,d)$. Non riesco in nessun modo a trovare un ragionamento che faccia vedere che $X_1$ è anche totalmente limitato (non so neanche se è vero), per poter concludere.
PS: con insieme totalmente limitato in uno spazio metrico intendo un insieme $A$ per cui, scelto un qualsiasi $\epsilon>0$, posso sempre trovare un suo sottoinsieme finito \(\displaystyle E=\{a_1,...,a_n\}\subset A \) che verifica:
$$\forall a\in A\exists a_i\in E : d(a,a_i)<\epsilon$$