Triangoli

[axpgn]

Siano $a, b, c$ i lati di un triangolo e sia $S$ la sua area.

Dimostrare che $a^2+b^2+c^2>=4sqrt(3)S$


Cordialmente, Alex

[giammaria]

La mia soluzione è un po' troppo "calcolosa", ma è pur sempre una soluzione.

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Poiché stiamo lavorando con numeri positivi, basta dimostrare che la differenza fra i quadrati dei due membri è positiva. Per la formula di Erone è $S=1/4 sqrt((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))$ e con un po' di calcoli ottengo che questa differenza è

$4a^4+4b^4+4c^4-4a^2b^2-4b^2c^2-4c^2a^2=$

$ =4a^4-4a^2(b^2+c^2)+4b^4-4b^2c^2+4c^4=$

$ =[2a^2-(b^2+c^2)]^2-(b^2+c^2)^2+4b^4-4b^2c^2+4c^4=$

$ =[2a^2-(b^2+c^2)]^2+3(b^2-c^2)^2>=0$

E' facile dimostrare che l'uguale vale solo per il triangolo equilatero.

[axpgn]

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È un problema che viene dalle Olimpiadi e ho letto altre soluzioni, una è un pochino meno "calcolosa" della tua ma siamo lì

Cordialmente, Alex

[jas123]

Qui la mia soluzione, con trigonometria

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Chiamo $ theta $ l'angolo tra i lati $ a $ e $ b $ quindi scrivo
$ S= 1/2ab sintheta $
e utilizzando il teorema del coseno, scrivo
$ c^2=a^2+b^2-2abcostheta $
quindi la disuguaglianza $ a^2+b^2+c^2>=4sqrt(3)S $ diventa
$ 2a^2+2b^2-2abcostheta ge (4sqrt(3)ab sintheta)/2 $
quindi
$ a^2+b^2ge ab(costheta+sqrt3sintheta) $
proviamo a maggiorare o massimizzare $ (costheta+sqrt3sintheta) $, quindi scriviamo
$ (costheta+sqrt3sintheta) = 2(1/2costheta+sqrt3/2sintheta) $
qui uso la formula per il seno della somma
$ 2(1/2costheta+sqrt3/2sintheta)=2sin(theta+pi/6) $

e quindi siccome $ -1lesin(theta+pi/6)le1 $ allora $ ab(costheta+sqrt3sintheta)le2ab $
quindi riscrivo la disuguaglianza completa, che diventa
$ a^2+b^2ge 2ab $ e da qui banalmente $ a^2+b^2-2ab=(a-b)^2ge0 $ quindi la disuguaglianza è sempre vera.

[axpgn]

Mi pare tutto giusto … però c'è qualcosa che mi sfugge

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Dalla tua conclusione sembrerebbe che per avere l'uguaglianza sia sufficiente che sia $a=b$ ovvero per ogni triangolo isoscele mentre l'uguaglianza vale solo se $a=b=c$ ovvero nel caso di triangolo equilatero (come dimostrato da giammaria).
Come si spiega 'sto fatto?

Cordialmente, Alex

[jas123]

Mi pare tutto giusto … però c'è qualcosa che mi sfugge

Cordialmente, Alex

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me lo sono chiesto anche io e mi sono risposto che per massimizzare l'RHS della disuguaglianza devo far si che $ sin(pi/6+theta)=1 $ quindi $ theta=pi/3 $ per cui se il triangolo è isoscele su base $ c $ si ottiene che il triangolo è equilatero.

[axpgn]

[giammaria]

Bellissima la soluzione di jas123 ! Suggerisco una scrittura che, senza cambiare il concetto, toglie ogni dubbio nel caso dell'uguale: arrivati a
$a^2+b^2>=2ab sin(theta+pi/6)$
scrivo che sottraendo $2ab$ ad entrambi i membri ottengo

$(a-b)^2>=2ab[sin(theta+pi/6)-1]$
che è certo vera perché il primo membro è positivo o nullo ed il secondo è negativo o nullo. Può valere l'uguale solo quando entrambi sono nulli, cioè quando il triangolo è equilatero.

[axpgn]

Bellissima la soluzione di jas123 !

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Ne vuoi altre tre? Così poi decidi quale ti piace di più

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Tre sono troppe, ma ne leggerò con piacere una; scegli tu quale.