Limiti due variabili

[AndretopC0707]

Grazie mille

[Mephlip]

In realtà il passaggio chiave è proprio quello che hai scritto a parole, scrivi quell'ultimo passaggio perché potrebbe non essere corretto.

[AndretopC0707]

In che senso?

[AndretopC0707]

$p^2 cos^2theta + p^2 sen^2theta$ fa $p^2$ e diviso $p^2$ fa 1, l’altro termine è $p^3$ che diviso $p^2$ fa 0.
1+0 = 1 no?

[Mephlip]

l’altro termine è $p^3$ che diviso $p^2$ fa 0.

$\rho^3$ diviso $\rho^2$ fa $\rho$, quindi tende a $0$ per $\rho \to 0^+$ e non "fa" $0$; attenzione all'esposizione, scrivere per bene quello che si sta facendo è anche segno di rispetto per chi ti sta leggendo.

1+0 = 1 no?

No, perché hai
$$\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta}{\rho^2}=$$
$$=\lim_{\rho \to 0^+} \left(1+\rho \cos^3 \theta \sin \theta\right)$$
Che dipende da $\theta$.
I limiti in più variabili sono insidiosi proprio perché devi dimostrare che il limite è indipendente dalla direzione dalla quale si giunge al punto $(x_0, y_0)$ a cui tende $(x,y)$, perciò la dipendenza da $\theta$ non ti permette di concludere nulla perché dipendere dall'angolo significa dipendere dalla direzione.
Suggerimento: prova a dimostrare che
$$\left| \lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2} -1 \right|=0$$

[AndretopC0707]

Non ho capito, quanto dovrebbe fare il limite? Zero?
Se uno più un numero che tende a zero perché non fa 1?

[Mephlip]

Il limite è $1$, ti ho detto "no" prima quando hai detto "1+0=1" perché come sospettavo (infatti ti ho chiesto di scrivere il procedimento proprio per questo, non per altro) il procedimento con cui giungi al risultato è sbagliato, sei stato solo fortunato nell'avere ottenuto comunque il risultato corretto.
Da cosa deduci che dovrebbe essere $0$ il limite nel mio messaggio precedente? Da questo?

$$\left| \lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2} -1 \right|=0$$

Se sì, urge un ripasso di analisi 1; quello non significa assolutamente che il limite è $0$.

Se uno più un numero che tende a zero perché non fa 1?

Te l'ho già spiegato qui:

I limiti in più variabili sono insidiosi proprio perché devi dimostrare che il limite è indipendente dalla direzione dalla quale si giunge al punto $(x_0, y_0)$ a cui tende $(x,y)$, perciò la dipendenza da $\theta$ non ti permette di concludere nulla perché dipendere dall'angolo significa dipendere dalla direzione.

Rileggi con attenzione.

[AndretopC0707]

Ma perché il procedimento è sbagliato?
$p^3/p^2$ è $p$ , dato che $p$ tende a zero che cosa c’entrano il coseno e il seno?
È comunque zero

[Mephlip]

Prendiamo per esempio $h(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ e studiamone il limite per $(x,y)\to(0,0)$: secondo questo tuo ragionamento, si avrebbe che $h$ ha limite $0$ perché passando in coordinate polari:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^4 \cos^4 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}=0$$
Tuttavia ciò è falso, perché: se vai al limite lungo la restrizione $y=0$ ottieni che il limite è $0$, ma se vai al limite lungo la restrizione $y=x^2$ ottieni:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}$$
Dunque il limite non esiste, perché il limite, se esiste, è unico.

Tutto ciò è dovuto al discorso che ti ho fatto prima sulle direzioni: esiste infatti un teorema che, sotto certe condizioni, ti permette il calcolo del limite in coordinate polari, ma una delle ipotesi è che devi maggiorare il modulo della differenza tra la funzione ed il limite $l$ con una funzione $\varphi=\varphi(\rho)$, ossia una funzione dipendente esclusivamente da $\rho$ e non da $\theta$ (che è ciò che ho cercato di dirti negli ultimi messaggi).

[AndretopC0707]

Ma qui è diverso, per essere zero deve essere diverso da zero il $sen^2theta$, nel caso precedente il denominatore non c’era