sia $f:RRtoRR$ funzione \( t.c. f(\limsup a_n)=\limsup f(a_n), \) $ AA {a_n}sub RR $ successione limitata,
Dimostra che f è continua.
(limsup è il sup tra i possibili limiti)
Questo è come ho provato a farlo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sia $x_0inRR$.
sia $ {a_n}sub RR $ successione limitata con $a_ntox_0$.
Per il teorema ponte:
$ lim_(x -> x_0) f(x)=lim f(a_n) $
ma allora:
\( \lim f(a_n)=\limsup f(a_n) \)
poichè se esiste il limite il limsup coincide con esso.
Dunque per ipotesi:
\( \limsup f(a_n)=f(\limsup a_n) \)
e per la convergenza di $a_n$ a $x_0$:
\(f(\limsup a_n)=f(\lim a_n)=f(x_0)\);
Dunque $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $ come volevo.
sia $ {a_n}sub RR $ successione limitata con $a_ntox_0$.
Per il teorema ponte:
$ lim_(x -> x_0) f(x)=lim f(a_n) $
ma allora:
\( \lim f(a_n)=\limsup f(a_n) \)
poichè se esiste il limite il limsup coincide con esso.
Dunque per ipotesi:
\( \limsup f(a_n)=f(\limsup a_n) \)
e per la convergenza di $a_n$ a $x_0$:
\(f(\limsup a_n)=f(\lim a_n)=f(x_0)\);
Dunque $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $ come volevo.
So che non è banale ma vorrei un aiuto