derivabilità di funzione definita a tratti

[silviaaivlis]

Ciao! Non riesco a risolvere una parte di questo esercizio..

(a) Determinare la costante $a in RR$ in modo che la funzione $ f :] − pi/2 , pi/2 [ -> RR $
definita da
$ f(x)=\{ ( (sin(x^2))/(1-cosx) ,", se " x != 0), ( a, ", se " x = 0):} $
risulti continua, giustificando la risposta.

(b) Si verifichi infine se con la scelta di a fatta al punto precedente la funzione $f$ risulta
derivabile in $0$. In caso affermativo calcolare $ f'(0) $.

Per prima cosa io ho studiato la continuità nel punto $ x=0 $ calcolando $ lim_(x -> 0) (sin(x^2))/(1-cosx)=2 $ e imponendo quindi $ 2= f(0) $, cioè $ a=2 $.

Ora dovrei verificare la derivabilità in $0$ e qui mi sorgono parecchi dubbi...
Devo calcolare i limiti destro e sinistro della derivata prima e vedere se sono uguali?
O forse è meglio calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale?
E per quanto riguarda il calcolo di $ f'(0) $ ? A pelle mi verrebbe da dire che devo derivare $ a $ (cioè 2 in base a quanto trovato sopra) poiché la funzione in zero vale a e quindi risulterebbe $ f'(0)=0 $ però non capisco se è giusto ragionare in questo modo...

[gugo82]

Rapporto incrementale.

[tetravalenza]

Ciao, ho anch'io un problema con questa tipologia di funzioni. Il libro "Calcolo" di Marcellini/Sbordone propone il seguente esercizio

"Stabilire per quali $x$ risultano derivabili le funzioni seguenti e calcolare la derivata in tali punti"

La funzione che mi dà problemi è $f(x)=|x-1|$. È definita a tratti come
\[
f(x)=\Big\{\begin{matrix} x-1 & \text{se }x\geq 1 \\ 1-x & \text{se }x<1 \end{matrix}
\]

Il rapporto incrementale, se non ho sbagliato, è il seguente
\[
\frac{\Delta y}{h}=\frac{|x+h-1|-|x-1|}{h}
\]
Per stabilire i valori di $x$ per cui la funzione è derivabile posso osservare che nell'intervallo $(1,+\infty)$ la $f(x)=x-1$ è derivabile e fare la stessa osservazione sull'intervallo $(-\infty, 1)$ oppure devo usare il rapporto incrementale e in che modo?
Invece nel punto $x=1$ faccio la sostituzione e poi calcolo il limite
\[
\frac{\Delta y}{h}=\frac{|1+h-1|-|1-1|}{h}=\frac{|h|}{h} \\
\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{|h|}{h}}
\]
con limite destro 1 e limite sinistro -1 quindi non è derivabile per $x=1$, è corretto? La soluzione è "derivabile per ogni $x\ne 1$". In precedenza nel libro veniva utilizzato come esempio la funzione $f(x)=x\cdot |x|$ ma gli autori dicevano semplicemente che

$f(x)$ è derivabile e, per $x\ne 0$, si ha
\[
f'(x)=\Big\{\begin{matrix} 2x & \text{se }x>0 \\ -2x & \text{se }x<0 \end{matrix}
\]
senza fornire ulteriori spiegazioni.

[gugo82]

@ tetravalenza: L’unico punto problematico per entrambe le funzioni proposte è quello di raccordo tra gli intervalli in cui valgono espressioni analitiche differenti, i.e. $1$ nel primo caso e $0$ nel secondo.
Perché?

Nel primo caso, il rapporto incrementale centrato in $1$ è dato da:

$text(r)(f,1;h) = (f(1+h) - f(1))/h = |h|/h$

e non è regolare per $h ->0$; nel secondo caso, il rapporto incrementale centrato in $0$ è:

$text(r)(f,0;h) = (f(h) - f(0))/h = (h|h|)/h = |h|$

che è convergente per $h->0$.
Dunque la prima funzione non è derivabile in $1$, mentre la seconda è derivabile (ed ha derivata nulla) in $0$.


Esercizio bonus:
Siano $I sube RR$ un intervallo, $x_0 in I$ un punto interno ed $f: I -> RR$ tale che $f(x_0)=0$.
Dimostrare che se $f$ ha in $x_0$ uno zero d’ordine $alpha > 1$, allora la funzione $|f|$ è derivabile in $x_0$ ed ha derivata nulla in tale punto.

[tetravalenza]

OK Grazie per la spiegazione.
L'esercizio che proponi purtroppo non sono ancora in grado di risolvero. È la prima volta che incontro il termine "zero di ordine $\alpha$". Avevo trovato il termine "funzione infinitesima di ordine $\alpha$" nell'eserciziario 1/1 di Marcellini e Sbordone riguardante gli infinitesimi, ma ad intuito credo non serva per la dimostrazione.
Come esempio di funzione, forse la $f(x)=x^2$ soddisfa la richiesta? Ha uno zero in $x_0=0$ e $|x^2|=x^2$ e ammette derivata in 0. Per la dimostrazione ci penserò su.

[gugo82]

Dire che $f$ ha uno zero d'ordine $alpha$ in $x_0$ significa che:

$f(x) = c\ (x-x_0)^alpha + "o"((x-x_0)^alpha)$ intorno ad $x_0$ con $c in RR\setminus \{0\}$

ossia (in maniera imprecisa, ma più maneggevole):

$\lim_(x -> x_0) (f(x))/(x-x_0)^\alpha = c in RR\setminus \{ 0\}$.