Ciao! Non riesco a risolvere una parte di questo esercizio..
(a) Determinare la costante $a in RR$ in modo che la funzione $ f :] − pi/2 , pi/2 [ -> RR $
definita da
$ f(x)=\{ ( (sin(x^2))/(1-cosx) ,", se " x != 0), ( a, ", se " x = 0):} $
risulti continua, giustificando la risposta.
(b) Si verifichi infine se con la scelta di a fatta al punto precedente la funzione $f$ risulta
derivabile in $0$. In caso affermativo calcolare $ f'(0) $.
Per prima cosa io ho studiato la continuità nel punto $ x=0 $ calcolando $ lim_(x -> 0) (sin(x^2))/(1-cosx)=2 $ e imponendo quindi $ 2= f(0) $, cioè $ a=2 $.
Ora dovrei verificare la derivabilità in $0$ e qui mi sorgono parecchi dubbi...
Devo calcolare i limiti destro e sinistro della derivata prima e vedere se sono uguali?
O forse è meglio calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale?
E per quanto riguarda il calcolo di $ f'(0) $ ? A pelle mi verrebbe da dire che devo derivare $ a $ (cioè 2 in base a quanto trovato sopra) poiché la funzione in zero vale a e quindi risulterebbe $ f'(0)=0 $ però non capisco se è giusto ragionare in questo modo...