Equazione trigonometrica

[axpgn]

Risolvere l'equazione $(cos(x))^n-(sin(x))^n=1$ dove $n$ è un numero naturale.


Cordialmente, Alex

[jas123]

forse ho un po' barato perché ho usato le derivate (e comunque il procedimento è abbastanza lungo):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ (cos(x))^n-(sin(x))^n=1 $ ed $ n in NN $ (non so se nei naturali intendessi includere anche lo 0 ma in quel caso banalmente non ci sarebbero soluzioni)
innanzitutto siccome $ -1lecosxle1 $ e $ -1lesinxle1 $ allora suppongo $ 1=max(cos^nx-sin^nx) $ e comincio a derivare:
$ d/dxcos^n(x)-d/dxsin^n(x)=0 $ ; $ -ncos^(n-1)(x)sin(x)-nsin^(n-1)(x)cos(x)=0 $ ;
(siccome abbiamo eliminato il caso n=0)
$ cos^(n-1)(x)sin(x)+sin^(n-1)(x)cos(x)=0 $ ; $ cos^(n-2)(x)cos(x)sin(x)+sin^(n-2)(x)cos(x)sin(x)=0 $ ;
$ cos^(n-2)(x)1/2sin(2x)+sin^(n-2)(x)1/2sin(2x)=0 $
Quindi
$ sin(2x)=0 $ oppure $ cos^(n-2)(x)=-sin^(n-2)(x) $

distinguo due casi

$ n $ è pari

allora $ cos^(n-2)(x)=-sin^(n-2)(x) $ non ha soluzioni
mentre $ sin(2x)=0 $ ; $ x=kpi/2 $ con $ k in ZZ $

notiamo che

per $ k $ dispari $ (cos(x))^n-(sin(x))^n=-1 $

mentre per $ k $ pari $ (cos(x))^n-(sin(x))^n=1 $ (che è quello che volevamo)

quindi per $ n $ pari abbiamo che $ x=hpi $ con $ h in ZZ $ è un massimo relativo.

$ n $ è dispari

allora $ cos^(n-2)(x)=-sin^(n-2)(x) hArr cos(x)=-sin(x) $ per cui
$ cosx=cos(pi/2+x) $ quindi $ x=kpi-pi/4 $

notiamo che

per $ k $ pari $ (cos(x))^n-(sin(x))^n= -2sin^n(x)=-2(-sqrt(2)/2)^n$

se $ n=1 $ allora $ -2(-sqrt(2)/2)^n>1 $ per cui devo risolvere singolarmente il caso (ma è piuttosto semplice quindi scrivo direttamente i risultati) $ x=2kpi $ oppure $ x=-pi/2+2kpi $

se $ n>2 $ allora $ -2(-sqrt(2)/2)^n<1 $ per cui non ci sono massimi che ci interessano

per $ k $ dispari $ (cos(x))^n-(sin(x))^n= -2sin^n(x)=-2(sqrt(2)/2)^n<0$ quindi non ci sono valori di $ x $ che ci interessano.

e poi sia per $ k $ pari che dispari abbiamo $ sin(2x)=0 $ per cui l'eq si risolve con $ x=hpi $ per i pari oppure $x=-pi/2+2hpi$ e $ x=2hpi $ per i dispari con $ h in ZZ $

Quindi in conclusione

il caso $n=1$ è stato risolto (ad esempio con l'utilizzo dell'angolo aggiunto) ed abbiamo ottenuto che $ x=2kpi $ oppure $ x=-pi/2+2kpi $ con $ k in ZZ $

nel caso $n$ dispari maggiore di 1 ha prodotto una serie di massimi relativi $ f(x)= 1$ (ma siccome la funzione è continua in tutto $ RR $, non essendoci nessun massimo maggiore di 1) si può concludere che 1 è il massimo assoluto e tutti i valori di $x$ per cui $x$ è un punto massimo relativo sono tutti e soli i valori di $x$ tali che $ (cos(x))^n-(sin(x))^n=1 $
per cui abbiamo $x=2kpi$ oppure $ x=-pi/2+2kpi $ con $k in ZZ$

il caso $n$ pari ha prodotto una serie di massimi relativi $ f(x)= 1$ (ma siccome la funzione è continua in tutto $ RR $, non essendoci nessun massimo maggiore di 1) si può concludere che 1 è il massimo assoluto e tutti i valori di $x$ per cui $x$ è un punto massimo relativo sono tutti e soli i valori di $x$ tali che $ (cos(x))^n-(sin(x))^n=1 $
per cui le soluzioni del caso $n$ pari sono $ x=kpi $ con $ k in ZZ $

[axpgn]

Ti fermo subito …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Questo

$ 1=max(cos^nx-sin^nx) $

non è vero.

Lo zero non è naturale (comunque non importa, come giustamente hai detto)
E non c'è bisogno di derivare

Cordialmente, Alex

[jas123]

Ti fermo subito …

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Questo

$ 1=max(cos^nx-sin^nx) $

non è vero.

Lo zero non è naturale (comunque non importa, come giustamente hai detto)
E non c'è bisogno di derivare

Cordialmente, Alex

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se guardi dopo dimostro che non è sempre vero ma a partire da quella idea riesco a fare tutto il resto, comunque ho derivato perché è la prima cosa che mi è venuta in mente ma sicuramente ci sono altre soluzioni senza passare per le derivate.
prova a leggere tutta la dimostrazione.

[Zero87]

Se il forum funziona invece dare errore e se $n$ è pari...

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Pongo $n=2m$ con $m$ intero positivo e ho
$cos^(2m) (x) - sin^(2m) (x) = 1$
ovvero
$cos^(2m) (x) = 1+sin^(2m)(x)$
ora, la quantità al secondo membro è sempre $\ge 1$ e l'unico caso ammissibile è che valga esattamente $1$ poiché $cos^(2m)(x) \subseteq [0,1]$.
Tra l'altro sono arrugginito con la notazione, si scrive così?

Quindi l'unica soluzione possibile è, in contemporanea, $cos^(2m)(x)=1$ e $sin^(2m)(x)=0$.
Ovvero $x = k \pi$ e $k$ intero.

Per il caso $n$ dispari, mi attrezzerò.

Dimenticavo, Alex: per l'esercizio sulla cancellazione dei numeri e divisibilità per 9 non ho risposto più perché dopo poche ore ha risposto giammaria (che saluto se legge).

[axpgn]

Comincio da Zero87 che è più facile

Va bene tranne per un particolare …

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$k$ intero non necessariamente positivo

@jas123

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È un gran casino, quello è un flusso di coscienza, non una dimostrazione
Non puoi mischiare continuamente funzione e derivate senza mai riferirti esplicitamente all'una o all'altra, solo alla fine tiri fuori un $f(x)$ , così la confusione aumenta.
Verso la fine mi sono perso anche perché non riesco a capire da dove saltano fuori i massimi relativi pari a $1$ quando $cos(x)-sin(x)$ ha massimi relativi pari a $sqrt(2)$
Peraltro le soluzioni ci sono quasi tutte (a me ne manca una nel caso $n$ dispari) però a 'sto punto non saprei dirti se qualcuna è venuta per caso …
Come puoi vedere dal post di Zero87, lasciar stare le derivate è meglio …

Cordialmente, Alex

EDIT:

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Ho visto che per i massimi ti riferivi alle funzioni "potenza" quindi ok, però mi manca una soluzione per il caso $n$ dispari

[Zero87]

Ho corretto, Alex, mi era andato in pappa il cervello.
Provo il caso $n$ dispari.

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Se $n$ è dispari, opero in questo modo.

Considero a parte il caso $n=1$, ovvero
$cos(x)-sin(x)=1$ che dovrebbe avere come soluzione $x= 2k\pi$ con $k$ intero e $x=3/2 \pi + 2k\pi$ sempre $k$ intero. Ammetto che ho fatto i conti un po' alla meglio, quindi spero siano giusti: diciamo che mi interessa di più il caso $n=2m+1$ con $m\ge 1$ che faccio ora...

... e quindi se $n$ è dispari e maggiore di 1, ho
$cos^(2m+1)(x)-sin^(2m+1)(x)=1$
mi è venuto in mente - ho preso spunto dalla soluzione precedente e da quella di Jas - che posso scrivere
$cos^2(x)cos^(2m-1)(x)-sin^2(x)sin^(2m-1)(x)=1$
ma, tenendo conto della disuguaglianza triangolare e del fatto che $|cos^(2m-1)(x)|<=1$ e $|sin^(2m-1)(x)| \ge 1$ e del fatto che $|sin^2(x)|=sin^2(x)$ e $|cos^2(x)|=cos^2(x)$ ho
$|cos^2(x)cos^(2m-1)(x)-sin^2(x)sin^(2m-1)(x)|\le |cos^2(x)cos^(2m-1)(x)|+|sin^2(x)sin^(2m-1)(x)|=|cos^2(x)||cos^(2m-1)(x)|+|sin^2(x)||sin^(2m-1)(x)|\le |cos^2(x)|+|sin^2(x)|=cos^2(x)+sin^2(x)=1$
Da cui deduco che le uniche soluzioni sono quelle banali, ovvero che si annulla uno dei due termini, come nel caso $n$ pari, dunque $x=k\pi$ e $x=3/2 \pi + k \pi$ che non sono le stesse del caso precedente ma le includono (nel caso precedente non valeva mai che il seno con esponente pari desse $-1$ quindi c'era una soluzione in meno data dall'annullamento solo del coseno).
Quindi se per qualche motivo ho fatto tutto bene la soluzione complessiva è quella scritta, ovvero $x=k\pi$ se $n$ è pari e $x=k\pi$ e $x = 3/2 \pi + k \pi$ se $n$ è dispari.

L'unica cosa è che ho usato delle stime con le disuguaglianze triangolari, cose che non ho fatto alle superiori ma all'università quindi non so se sia giusta come soluzione in quanto a complessità.

[jas123]

Comincio da Zero87 che è più facile



EDIT:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho visto che per i massimi ti riferivi alle funzioni "potenza" quindi ok, però mi manca una soluzione per il caso $n$ dispari

hai ragione ho sbagliato un passaggio, adesso correggo e si dovrebbe trovare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

come soluzioni ho

$ x=2kpi $ oppure $ x=2kpi-pi/2 $ nel caso n dispari
e
$ x=kpi $ nel caso n pari

ovviamente con k intero

[axpgn]

Ok

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Consiglio: in linea generale è sempre meglio evitare di modificare un post e la ragione principale è che la modifica non la vede più nessuno (quasi sempre); quindi è meglio aggiungere un post con le "novità" ed eventualmente aggiungere un link al post originario e questo è sempre bene farlo.
Se poi lo si ritiene proprio necessario, si modifichi il messaggio ma evidenziando ben bene le modifiche effettuate altrimenti può capitare di non trovarle proprio

[axpgn]

Ah, beh, dimenticavo che anche quella di Zero87 è ok

Per il caso dispari la mia versione è abbastanza simile …

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Se $n$ è dispari, diciamo $n=2m+1$, poniamo $y=-x$

Allora avremo:

$1=(cos(x))^(2m+1)-(sin(x))^(2m+1)=(cos(-y))^(2m+1)-(sin(-y))^(2m+1)=$

$=(cos(y))^(2m+1)+(sin(y))^(2m+1)$

$<=|(cos(y))^(2m+1)|+|(sin(y))^(2m+1)|=$

$=(cos(x))^2|(cos(y))^(2m-1)|+(sin(x))^2|(sin(y))^(2m-1)|=$

$<=(cos(x))^2+(sin(x))^2=1$

Nella terza riga l'uguaglianza vale se e solo se $cos(y)>=0$ e $sin(y)>=0$ mentre nell'ultima riga l'uguaglianza vale se e solo se $|sin(x)|=1$ o $|cos(y)|=1$.

Ne consegue che o è $sin(y)=1$ e $x=2kpi-pi/2$ o $cos(y)=1$ e $x=2kpi$

Cordialmente, Alex