Ciao
Nandone169 ha scritto:quante relazioni diverse possono essere definite?
Allora per quanto riguarda il primo punto, dovrebbero essere 25 considerando tutte le
\(Riflessive, Simmetriche, Transitive \) .
Hai scritto relazioni, non relazioni di equivalenza. Le relazioni possibili sono tutti i possibili sottoinsiemi di $VxxV$ che è un insieme di 25 elementi, dunque sono $2^25$.
Nandone169 ha scritto:Per il secondo punto,invece, dato che solo le relazioni riflessive sono anche simmetriche, dovrebbero essere 5.
Prova a pensarci, sapendo che "riflessiva" vuol dire che, di questo insieme $VxxV$ di 25 elementi, vogliamo considerare il numero dei suoi sottoinsiemi che hanno sempre al loro interno 5 elementi (cioè $(a,a)(e,e), ...$). La condizione per la simmetria invece è che alcuni di questi elementi vadano "a coppia", ossia (ad esempio) non possiamo avere un sottoinsieme di $VxxV$ che abbia dentro solo $(a,e)$ e non $(e,a)$, dunque i due dobbiamo trattarli "come un unico elemento".
Nandone169 ha scritto:Infine,per il terzo punto,dato che chiede UNA sola relazione di equivalenza che soddisfi DUE condizioni, dovrei considerare un qualsiasi sottoinsieme di V che verifichi la \(Riflessività,Simmetria,Transitività \) tra a ed e ma non tra a ed u; Per esempio: \((a.e),(a,a),(e,e),(e,a),(e,u),(a,u) \).
Non hai capito. Una relazione su $V$ è di equivalenza se e solo se tutti gli elementi in $V$ soddisfano quelle tre proprietà. Dunque non puoi avere che a, e soddisfino le proprietà ma non u in quanto u è un elemento di $V$ (come anche i, o) ed essendo questa una relazione di equivalenza di $V$ tutti i suoi elementi devono soddisfare le tre proprietà. In altre parole nella relazione devono esserci, per la proprietà riflessiva, $(a,a), (e,e), ..., (u,u)$ (e per questo il tuo esempio non vale) altrimenti non sarebbe una relazione di equivalenza; per la simmetricità se c'è $(e,u)$ deve esserci anche $(u,e)$ (e anche per questo il tuo esempio non vale). Allo stesso modo anche la transitività deve valere sempre. Prova a ripensarci ora