Dubbio risoluzione sistema

Messaggioda mikic97 » 03/06/2020, 20:36

Buonasera a tutti, stavo svolgendo un esercizio di algebra e non ho capito i passaggi per risolvere un sistema. Riporto il testo:

Sia $f$:$RR^3$ --> $RR^3$ l'endomorfismo definito da:
$f(1,2,1) = (1,9,-5)$
$f(2,1,1) = (4,10,6)$
$f(1,0,-1) = (1,1,3)$.
Debo studiare la funzione e determinare le equazioni cartesiane di $Kerf$ e $Imf$.

Il mio dubbio esattamente è:
Una volta che considero tre basi canoniche $e_1= (1,0,0) , e_2=(0,1,0) , e_3=(0,0,1)$ e imposto il sistema:

$\{(f(e_1) + 2f(e_2) +f(e_3) = (1,9,-5)),(2f(e_1) + f(e_2) +f(e_3) = (4,10,6)),(f(e_1) - f(e_3) = (1,1,3)):}$

Quali sono i passaggi matematici per ricavare $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ che mi permettono di arrivare al seguente risultato?

$\{(f(e_1) = (2,3,5)),(f(e_2) = (-1,2,-6)),(f(e_3) = (1,2,2)):}$

Pur avendo il risultato non riesco a capire i passaggi matematici che si devono fare, vi sarei immensamente grato se qualcuno potesse spiegarmelo.
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Re: Dubbio risoluzione sistema

Messaggioda Bokonon » 03/06/2020, 21:58

E' un sistema, risolvilo come tale.
Dalla terza equazione:
$f(e_1)=(1,1,3)+f(e_3)$
Sostituendo nella prima equazione abbiamo:
$(1,1,3)+f(e_3)+2f(e_2)+f(e_3)=(1,9,-5)$
$2f(e_3)=(1,9,-5)-(1,1,3)-2f(e_2)=(0,8,-8)-2f(e_2)$
$f(e_3)=1/2(0,8,-8)-(1/2)2f(e_2)=(0,4,-4)+f(e_2)$
etc etc.
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