Funzionali lineari: notazione e proposizioni

Messaggioda universo » 03/06/2020, 22:06

Elenco di seguito alcune cose che non ho compreso:

- Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita, e sia $e = {e_1, ..., e_n}$ una sua base. Sia $1\leq i \leq n$. Esiste un unico funzionale lineare $\eta_{i}$ tale che $\eta_{i}(e_j) = \delta_{ij}$ dove $ \delta_{ij}$ è il solito simbolo (delta) di Kronecker. Non mi è chiaro come è definita questa funzione.

- Se il funzionale $L: V \rightarrow \mathbb{K}$ non è nullo, la sua immagine è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}$ diverso da $<0>$, e quindi $Im(L) = \mathbb{K}$; da ciò e dal Teorema 11.6 ($dim[N(F)] + r(F) = n$ dove $F$ è un'applicazione lineare $F: V \rightarrow W$ con $dim(V) = n$) segue che $dim[N(F)] = n -1$. Non ho capito perché viene sottolineato che l'immagine di $L$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}$ (se $F: V \rightarrow W$ è lineare $Im(F)$ è sempre un sottospazio vettoriale di $W$!) e soprattuto come mai ciò implica la suriettività di $L$. Di conseguenza non ho compreso la conclusione.
universo
New Member
New Member
 
Messaggio: 95 di 95
Iscritto il: 19/11/2018, 23:19

Re: Funzionali lineari: notazione e proposizioni

Messaggioda marco2132k » 03/06/2020, 23:27

universo ha scritto:Non mi è chiaro come è definita questa funzione.
Che cosa non ti è chiaro?

Se \( L \) è un funzionale, la sua immagine può avere dimensione \( 0 \) o \( 1 \). Se non è nullo, dev'essere \( \dim\operatorname{Im}L = 1 \) (poi, beh, se \( W \) è sottospazio dello spazio \( V \), ed entrambi hanno la stessa dimensione, allora sono uguali).
marco2132k
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 566 di 576
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Funzionali lineari: notazione e proposizioni

Messaggioda gugo82 » 08/06/2020, 15:04

universo ha scritto:- Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita, e sia $e = {e_1, ..., e_n}$ una sua base. Sia $1\leq i \leq n$. Esiste un unico funzionale lineare $\eta_{i}$ tale che $\eta_{i}(e_j) = \delta_{ij}$ dove $ \delta_{ij}$ è il solito simbolo (delta) di Kronecker. Non mi è chiaro come è definita questa funzione.

Beh, $eta_i(mathbf(v)) = eta_i(a_1e_1+\cdots +a_n e_n) = a_i$, con $a_1,...,a_n in mathbb(K)$ unici scalari t.c. $mathbf(v) = a_1 e_1+\cdots + a_n e_n$. Perché?

universo ha scritto:- Se il funzionale $L: V \rightarrow \mathbb{K}$ non è nullo, la sua immagine è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}$ diverso da $<0>$, e quindi $Im(L) = \mathbb{K}$; da ciò e dal Teorema 11.6 ($dim[N(F)] + r(F) = n$ dove $F$ è un'applicazione lineare $F: V \rightarrow W$ con $dim(V) = n$) segue che $dim[N(F)] = n -1$. Non ho capito perché viene sottolineato che l'immagine di $L$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}$ (se $F: V \rightarrow W$ è lineare $Im(F)$ è sempre un sottospazio vettoriale di $W$!) e soprattuto come mai ciò implica la suriettività di $L$. Di conseguenza non ho compreso la conclusione.

Beh, come osservava marco2132k, hai $dim mathbb(K) = 1$ (riguardando $mathbb(K)$ come spazio vettoriale su se stesso), quindi gli unici sottospazi di $mathbb(K)$ sono $\{ 0\}$ e $mathbb(K)$.
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 24047 di 24321
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 64 ospiti