Anello delle funzioni simmetriche

[Cantor99]

Salve, ho alcuni dubbi su un argomento di cui non alcun materiale di supporto (se non wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_s ... _functions), forse sono banalità.

1) E' vero che $S_{\NN}$, il gruppo simmetrico su $\NN$, agisce sull'anello delle serie formali $A[[X]]$, con $X$ un insieme numerabile di indeterminate? (la risposta è probabilmente affermativa)

2) Esiste un modo canonico di immergere $S_{n}$ in $S_{\NN}$? E' vero che $S_{\NN}=\bigcup_{n\in \NN}S_{n}$?

3) E' vero che il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi simmetrici a $n$ indeterminate $x_{1},..., x_{1}$ a coefficienti in $A$ coincide con il sottocampo di $Q(A)(x_{1},..., x_{n})$ fissato da $S_{n}$? (un'inclusione è ovvia, ma l'altra non so)

Grazie in anticipo.

[hydro]

1) Direi proprio di sì; ti basta verificare che gli assiomi dell'azione di gruppo siano verificati.

2) Devi specificare cosa intendi con "canonico". La seconda domanda è anche malposta, cosa significa fare un'unione di gruppi? Forse tu intendevi fare il limite diretto degli $S_n$? In questo caso la risposta è no, e il motivo se ci pensi è abbastanza intuitivo: un elemento di quel limite diretto agisce sempre su un insieme finito. In effetti il limite diretto degli $S_n$ è l'insieme di tutte le permutazioni di $\mathbb N$ che sono "finitamente supportate", ovvero che fissano tutti i numeri naturali tranne al più un numero finito.

3) Sì, è il teorema fondamentale delle funzioni simmetriche.

[Cantor99]

Grazie per la risposta

Sulla 1) e 3) mi trovo perfettamente.

Per quanto riguarda la 2, facevo quella domanda perché mi era venuto il seguente dubbio. Mi scuso in anticipo per la confusione.

Supponiamo di avere un insieme $X$ di indeterminate indicizzate dai naturali $\NN$. E' giusto dire che le funzioni simmetriche sono punti fissi dell'azione di $S_{\NN}$ su $A[[X]]$ (con la proprietà che i monomi hanno grado finito)?

Ora qui (file:///C:/Users/alber/Downloads/epdf.pub_teoria-delle-equazioni-e-teoria-di-galois.pdf) (pag 96, proposizione 2.8.1) viene detto che per ogni permutazione $\eta : \NN\to \NN$ la mappa
\[
\varphi_{\eta}:f\mapsto f(x_{i_{1}},..., x_{i_{n}})\cdot \eta =f(x_{\eta(i_{1})},..., x_{\eta(i_{n})})
\]
è un automorfismo di $A[[X]]$¹. Queste posizioni inducono un'azione di $S_{\NN}$ su $A[[X]]$.

Queste due azioni sono uguali? Equivalenti?

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Note

1. Sinceramente non sono tanto convinto di quanto scritto. Tipo se prendo la permutazione
   \[
   \eta(k)=\begin{cases}
   k+1, & k \mbox{ dispari} \\ k-1, & k \mbox{ pari}
   \end{cases}
   \]
   e $f(x_{1},x_{2},...)=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}...$, $f(x_{2},x_{3})\cdot \eta=3x_{2}+2x_{3}$? $x_{1},x_{4},x_{5}$ che fine fanno: vengono fissato o variano con $\eta$? ↑

[hydro]

Supponiamo di avere un insieme $X$ di indeterminate indicizzate dai naturali $\NN$. E' giusto dire che le funzioni simmetriche sono punti fissi dell'azione di $S_{\NN}$ su $A[[X]]$ (con la proprietà che i monomi hanno grado finito)?

Cosa significa "è giusto dire"? A me sembra una definizione ragionevole di funzione simmetrica, ma sicuramente io non sono un esperto del ramo, quindi ti conviene aspettare la risposta di chi è più ferrato.

Ora qui (file:///C:/Users/alber/Downloads/epdf.pub_teoria-delle-equazioni-e-teoria-di-galois.pdf) (pag 96, proposizione 2.8.1) viene detto che per ogni permutazione $\eta : \NN\to \NN$ la mappa
\[
\varphi_{\eta}:f\mapsto f(x_{i_{1}},..., x_{i_{n}})\cdot \eta =f(x_{\eta(i_{1})},..., x_{\eta(i_{n})})
\]
è un automorfismo di $A[[X]]$

Non capisco bene la definizione di $\varphi_\eta$, da come è scritta sembra che $f$ abbia un numero finito di indeterminate...

[Cantor99]

Ti chiedevo di concordare (attraverso "giusto?") perché non trovo poco e nulla a riguardo...

Grazie tante.

[solaàl]

In 2, se con "canonico" intendi "naturale", non credo. Ed è falsa l'altra cosa che chiedi, basta guardare le cardinalità dei due gruppi.