Completezza di uno spazio normato

[zenzi]

Bentrovati tutti

Mi aggancio a questo thread perché ho un dubbio sullo stesso argomento: mi scuso se ho sbagliato a scrivere qui

Il dubbio è relativo al fatto che la completezza di uno spazio normato dipenda dalla norma scelta, concetto più volte espresso durante il corso che sto seguendo. Ed il dubbio è grave, perché indice che non ho capito qualcosa di fondamentale.

Partiamo da un semplice esempio mostrato in aula: si mostra che lo spazio $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale $ || f|| =int_(-1)^(1) |f(x)| dx $ non è completo. A tal fine, si sceglie la seguente successione:

se $ x in [0,1] $ , $ f(x)=x^(1/n) $
se $ x in [-1,0] $ , $ f(x)=-|x|^(1/n) $

Con la norma integrale, questa successione risulta di Cauchy. La successione, però, converge alla funzione

$ f(x)= 1 $ per $ x in [0,1] $
$ f(x)= -1 $ per $ x in [-1,0] $

che non appartiene a $ C^0[-1,1] $ e ciò basta per affermare che $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale non è completo: ho trovato una successione di Cauchy che non converge ad un limite che appartiene allo stesso spazio

Il mio dilemma ora è:
1) non si giunge alla stessa conclusione anche con la norma $ || f|| = max |f(x)| $ in $ x in [-1,1] $ ?
2) La successione avrà sempre lo stesso limite e, quindi, pur risultando di Cauchy con una determinata norma, lo spazio dovrà comunque considerarsi non completo, o no?
3) Successivamente si mostra che qualunque $ C^0[a,b] $ (con a e b reali finiti) è di Banach "con la norma giusta": ma $ C^0[-1,1] $ , ad esempio, non s'è mostrato che non lo è? (e cos'è la "norma giusta"?)

Ringrazio anticipatamente chi vorrà mostrarmi dove sbaglio

[gugo82]

1) Dipende da cosa vuol dire la domanda...

Se la domanda è da intendersi nel senso che la successione $f_n$ è di Cauchy anche rispetto a $||*||_oo$ (così si denota la norma del massimo), la risposta è: no, la successione $(f_n)$ non è di Cauchy rispetto a $||*||_oo$ (dunque il fatto che non converga non inficia la completezza).

Se la domanda è da intendersi nel senso che $||*||_oo$ è una norma rispetto alla quale $C^0$ non è completo (perché esistono successioni di Cauchy in norma non convergenti in norma), la risposta è: no, lo spazio $C^0$ dotato di $||*||_oo$ è sempre completo. Infatti la norma $||*||_oo$ induce la convergenza uniforme e già sai (Analisi II) che una successione è uniformemente convergente se e solo se è soddisfa il Criterio di Convergenza di Cauchy e che se una successione di funzioni continue converge uniformemente, allora il suo limite è continuo.

[zenzi]

Grazie mille gugo82, ora è chiaro. (Grazie anche per aver spostato la domanda. Pardon)