Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda cianfa72 » 04/06/2020, 11:19

Ciao,

ho un dubbio su alcuni aspetti relativi alla soluzione di circuiti dinamici non lineari rappresentati da equazioni differenziali algebriche del primo ordine (DAE -- Differential Algebraic Equation). Ho trovato in rete questo interessante link comportamento dinamico di circuiti non lineari.

Nella slide 7 vengono riportate le condizioni necessarie per l'esistenza e unicita' della soluzione del circuito (ovvero del sistema DAE). Se capisco bene la condizione richiede che il sistema DAE si possa porre in forma normale (in cui in particolare le funzioni che compaiono nel problema di Cauchy sotteso risultano definite per ogni valore delle variabili di stato $q$ e $\varphi$ -- rispettivamente la carica iniziale dei condensatori ed il flusso iniziale delle induttanze).

Ora quanto detto mi torna se l'ipotesi di esistenza ed unicita' della soluzione del sistema DAE di partenza si assume per ogni scelta delle condizioni iniziali su $q$ e $\varphi$ e questo per ogni istante $t$ scelto come possibile istante iniziale $t_0$.

Tale richiesta rappresenta infatti condizione necessaria/sufficiente per risolvere univocamente (esplicitare) rispetto a $q$ e $\varphi$ tutte le altre variabili che compaiono all'interno delle equazioni puramente algebriche del sistema.

Vi torna ?
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda gugo82 » 04/06/2020, 16:07

L'esistenza e l'unicità della soluzione non sono un'ipotesi che si assume, ma una conseguenza della forma del sistema.
L'unica ipotesi che si fa (come al solito, senza dirlo) -se si vogliono soluzioni classiche- è che i secondi membri siano funzioni "sufficientemente buone".
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda cianfa72 » 04/06/2020, 19:52

gugo82 ha scritto:L'esistenza e l'unicità della soluzione non sono un'ipotesi che si assume, ma una conseguenza della forma del sistema.

Si certo in generale. Nel caso specifico volevo provare ad arrivare alla conclusione riportata nel documento.
Consideriamo il sistema DAE che rappresenta un generico circuito dinamico non lineare:

$ F(v_c,i_c,v_l,i_l,v_a,i_a,q,\varphi,t) = 0 $
$ \frac {dq} {dt} = i_c $
$ \frac {d\varphi} {dt} = v_l $

$q(t=t_0) = q_0$
$\varphi(t=t_0) = \phi_0$

$v_c,i_c,v_l,i_l,v_a,i_a$ sono i vettori tensione, corrente rispettivamente dei condensatori, induttori ed elementi a-dinamici (resistivi) anche di tipo non lineare. $q$ e $\varphi$ sono i vettori carica e flusso rispettivamente dei condensatori e induttori.

La dipendenza esplicita di $F()$ da $t$ modella la presenza di generatori indipendenti di tensione e corrente in generale tempo-varianti.

Ora il mio ragionamento e' il seguente: assumiamo per ipotesi che il circuito (sistema DAE) abbia sempre soluzione unica per ogni $t$ preso come $t_0$ e per ogni scelta delle condizioni inziali $q_0$ e $\phi_0$. Dal punto di vista di $F(....)=0$ esistono allora valori unici per $v_c,i_c,v_l,i_l,v_a,i_a$ in corrispondenza di ciascuna terna $(q,\varphi,t)$ ovvero e' possibile esplicitare globalmente $v_c,i_c,v_l,i_l,v_a,i_a$ in funzione di $(q,\varphi,t)$.

Quindi se assumiamo l'esistenza ed unicita' nella modalita' prima descritta ne segue necessariamente l'esistenza della rappresentazione in forma normale.

Come la vedete ? grazie :wink:
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda gugo82 » 05/06/2020, 01:01

Il tuo sistema si può mettere in forma normale solo se l'equazione vettoriale:

$ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $

(che è un sistema di $2l$ equazioni scalari, come deduco dal pdf) si può esplicitare rispetto alle variabili vettoriali $mathbf(i)_C$ e $mathbf(v)_L$ (le quali hanno $n_C$ e $n_L$ componenti) almeno in un intorno delle condizioni iniziali accoppiate al problema; ciò, ad esempio, si può fare quando sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Dini, i.e. quando lo jacobiano di $mathbf(F)$ rispetto a $(mathbf(i)_C, mathbf(v)_L)$ è diverso da zero.
Se questo si può fare, si ottengono due funzioni vettoriali $mathbf(f)_C$ ed $mathbf(f)_L$ che dipendono da tutte le altre variabili (quindi non solo da $\mathbf{q}$, $mathbf(\varphi)$ e $t$)1, cioè si ottiene:

$\{ (mathbf(i)_C = mathbf(f)_C(mathbf(v)_C, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t)), (mathbf(v)_L = mathbf(f)_L(mathbf(v)_C, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t)):}$

In questo caso, allora, il problema si può riscrivere incorporando l'equazione algebrica $ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $ nelle equazioni differenziali: infatti sostituendo $mathbf(i)_C = mathbf(f)_C(*)$ e $mathbf(v)_L = mathbf(f)_L(*)$ al secondo membro delle EDO ottieni:

$\{ (("d"mathbf(q))/("d"t) = mathbf(f)_C), (("d"mathbf(\varphi))/("d"t) = mathbf(f)_L):}$

chè è un sistema del primo ordine in forma normale e, come tale, ha unica soluzione a patto che i secondi membri siano "sufficientemente buoni".
Dal punto di vista dell'Analisi, il fatto che i secondi membri siano definiti ovunque rispetto a $(mathbf(q), mathbf(\varphi))$ non ha grande importanza: infatti, le soluzioni dei problemi di Cauchy sono sempre soluzioni locali e si prolungano fin dove si può (a patto di essere in regime di unicità).
Il fatto che i secondi membri siano funzioni univoche (ad un solo valore) è certamente importante per i teoremi di esistenza... Ma anche lì credo che si possa ragionare localmente (però qui non sono sicuro).

Insomma, quelle due condizioni lì non è che mi sembrino troppo collegate al problema matematico, né nell'uno né nell'altro senso.
L'unicità della soluzione dipende da altre proprietà dei secondi membri, tipo la lipschitzianità, mentre l'esistenza dipende essenzialmente dalla continuità dei secondi membri.

Note

  1. La dipendenza di $mathbf(f)_C$ ed $mathbf(f)_L$ solo da $\mathbf{q}$, $mathbf(\varphi)$ e $t$ è possibile solo se l'equazione $ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $ può essere esplicitata anche rispetto alle altre variabili $mathbf(v)_C$, $mathbf(i)_L$, $mathbf(v)_A$ ed $mathbf(i)_A$.
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda cianfa72 » 05/06/2020, 09:33

gugo82 ha scritto:Insomma, quelle due condizioni lì non è che mi sembrino troppo collegate al problema matematico, né nell'uno né nell'altro senso.
L'unicità della soluzione dipende da altre proprietà dei secondi membri, tipo la lipschitzianità, mentre l'esistenza dipende essenzialmente dalla continuità dei secondi membri.

Si chiaro. Volevo pero' se possibile il vs parere sulla condizione formale: dire che condizione necessaria per $A$ e' $B$ significa dire che assumendo $A$ si dimostra $B$ ($A=>B$) ovvero da $notB=>notA$

Ora se la proposizione $A$ e' :
il sistema DAE ha una unica soluzione per ogni scelta di $t$ come $t_0$ e per ogni scelta di $q$ e $\varphi$ come $q_0$ e $\phi_0$

allora segue logicamente la seguente proposizione $B$

e' possibile porre il sistema DAE in forma normale in cui le due funzioni vettoriali $ mathbf(f)_C(*) $ e $ mathbf(f)_L(*) $ dipendono univocamente solo da $ (mathbf(q), mathbf(\varphi), t) $ e sono definite per ogni valore di $mathbf(q)$ e $mathbf(\varphi)$.

Ecco secondo me, ragionando come nel mio precedente post, questa implicazione logica e' corretta :wink:
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda gugo82 » 05/06/2020, 16:40

No, non credo proprio.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda cianfa72 » 05/06/2020, 18:53

gugo82 ha scritto:No, non credo proprio.

Why not ?

Mettiamoci nello spazio $\mathbb(R^n)$ dove $n = 2n_C + 2n_L + 2n_A + n_C + n_L + 1$ dimensioni.

L'equazione vettoriale $ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $ rappresenta un sottoinsieme di $\mathbf(R^n)$ (una varieta' embedded in $\mathbb(R^n)$ di carattere non meglio specificato).

Ora se assumiamo come ipotesi che per ogni scelta di $(mathbf(q),mathbf(\varphi), t)$ quali condizioni iniziali il sistema DAE ha una unica soluzione, allora avremo che per ogni terna $(mathbf(q),mathbf(\varphi), t)$ i valori delle altre variabili saranno univocamente determinati e pertanto sara' possibile impiegare $(mathbf(q),mathbf(\varphi), t)$ come parametrizzazione globale della intera varieta' che $mathbf(F)(*)=0$ rappresenta.

Abbiamo quindi trasformato il sistema DAE iniziale in forma normale in cui $mathbf(f)_C(*)$ ed $mathbf(f)_L(*)$ sono definiti per qualunque valore di $(mathbf(q),mathbf(\varphi),t)$

Inoltre se la $mathbf(F)(*)$ e' almeno di classe $C^1$ mi aspetto che anche $mathbf(f)_C(*)$ ed $mathbf(f)_L(*)$ lo siano di conseguenza.
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Re: Esistenza forma normale sistemi equazioni differenziali algebriche (DAE)

Messaggioda cianfa72 » 07/06/2020, 19:21

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