Il tuo sistema si può mettere in forma normale solo se l'equazione vettoriale:
$ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $
(che è un sistema di $2l$ equazioni scalari, come deduco dal pdf) si può esplicitare rispetto alle variabili vettoriali $mathbf(i)_C$ e $mathbf(v)_L$ (le quali hanno $n_C$ e $n_L$ componenti) almeno in un intorno delle condizioni iniziali accoppiate al problema; ciò, ad esempio, si può fare quando sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Dini, i.e. quando lo jacobiano di $mathbf(F)$ rispetto a $(mathbf(i)_C, mathbf(v)_L)$ è diverso da zero.
Se questo si può fare, si ottengono due funzioni vettoriali $mathbf(f)_C$ ed $mathbf(f)_L$ che dipendono
da tutte le altre variabili (quindi non solo da $\mathbf{q}$, $mathbf(\varphi)$ e $t$)
1, cioè si ottiene:
$\{ (mathbf(i)_C = mathbf(f)_C(mathbf(v)_C, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t)), (mathbf(v)_L = mathbf(f)_L(mathbf(v)_C, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t)):}$
In questo caso, allora, il problema si può riscrivere incorporando l'equazione algebrica $ mathbf(F)(mathbf(v)_C, mathbf(i)_C, mathbf(v)_L, mathbf(i)_L, mathbf(v)_A, mathbf(i)_A, mathbf(q), mathbf(\varphi), t) = mathbf(0) $ nelle equazioni differenziali: infatti sostituendo $mathbf(i)_C = mathbf(f)_C(*)$ e $mathbf(v)_L = mathbf(f)_L(*)$ al secondo membro delle EDO ottieni:
$\{ (("d"mathbf(q))/("d"t) = mathbf(f)_C), (("d"mathbf(\varphi))/("d"t) = mathbf(f)_L):}$
chè è un sistema del primo ordine in forma normale e, come tale, ha unica soluzione a patto che i secondi membri siano "sufficientemente buoni".
Dal punto di vista dell'Analisi, il fatto che i secondi membri siano definiti ovunque rispetto a $(mathbf(q), mathbf(\varphi))$ non ha grande importanza: infatti, le soluzioni dei problemi di Cauchy sono sempre soluzioni locali e si prolungano fin dove si può (a patto di essere in regime di unicità).
Il fatto che i secondi membri siano funzioni univoche (ad un solo valore) è certamente importante per i teoremi di esistenza... Ma anche lì credo che si possa ragionare localmente (però qui non sono sicuro).
Insomma, quelle due condizioni lì non è che mi sembrino troppo collegate al problema matematico, né nell'uno né nell'altro senso.
L'unicità della soluzione dipende da altre proprietà dei secondi membri, tipo la lipschitzianità, mentre l'esistenza dipende essenzialmente dalla continuità dei secondi membri.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)