Espansione di un segnale in serie di Fourier

Messaggioda Pippo99911 » 03/06/2020, 16:47

Perchè un segnale, per essere sviluppabile in serie di Fourier, oltre che periodico, deve essere ad energia finita o a potenza finita?

forse per l'identità di Parseval?
valar morghulis
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Re: Espansione di un segnale in serie di Fourier

Messaggioda pilloeffe » 04/06/2020, 02:56

Ciao Pippo99911,

Un segnale $x(t) $ si dice ad energia finita se esiste finita e diversa da zero $E_x = \lim_{T \to +\infty} \int_{- T/2}^{+T/2} |x(t)|^2 \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \text{d}t $

Poi per l'identità di Parseval, adottando l'opportuna definizione di trasformata di Fourier, si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 \text{d}f = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \text{d}t $

ove $E(f) = |X(f)|^2 $ è la densità spettrale di energia del segnale $x(t)$ che rappresenta la distribuzione dell'energia del segnale alle diverse frequenze.
Un segnale si dice a potenza media finita se esiste finito e diverso da zero il seguente limite:

$ P_x = \lim_{T \to +\infty} 1/T \int_{- T/2}^{+T/2} |x(t)|^2 \text{d}t $

Confrontando quest'ultima definizione con la definizione di energia vista poc'anzi, si evince che:
- un segnale a potenza media finita ha energia infinita;
- un segnale a energia finita ha potenza media nulla.
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Re: Espansione di un segnale in serie di Fourier

Messaggioda Pippo99911 » 04/06/2020, 10:34

Ok, ma perchè per essere sviluppabile secondo Fourier, il mio segnale deve essere ad Energia finita?
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Re: Espansione di un segnale in serie di Fourier

Messaggioda pilloeffe » 05/06/2020, 02:24

A me risulta che per l'identità di Parseval si ha:

$1/L \int_{-L}^L |x(t)|^2 \text{d}t = a_0^2/2 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) $

ove $a_0$, $a_n $ e $b_n $ sono i coefficienti di Fourier corrispondenti a $x(t) $, se $x(t)$ soddisfa le condizioni di Dirichlet. Naturalmente nulla vieta di porre $L := T/2 $ sicché si ha:

$2/T \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \text{d}t = a_0^2/2 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) $

$1/T \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \text{d}t = (a_0/2)^2 + 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) $
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