Risposta impulsiva schema a blocchi

[enna]

Ho un sistema a linea di ritardo e devo trovare il modulo e l’argomento della risposta in frequenza. Per prima cosa ho ricavato che l’equazione è $ x(t)[ a + T + aT ] = y(t) $ e poiché cerco la risposta all’impulso $ h(t) = a \delta (t) + \delta (t-T) + a \delta (t - 2T) $. Adesso eseguo la trasformata di Fourier e trovo che $ H(f) = a + e^{-i2 \pi f T } + 2 a e^{ - i 2 \pi f 2T } $. Fino a qui ottengo gli stessi risultati del libro, ora però non Riesco a ricavare correttamente l’argomento. Il mio libro suggerisce di raccogliere L’ esponenziale ma in questo modo ottengo $ H (f) = e^{-i 2 \pi f T} [3a cos (2 \pi f T) + 1 - a sen (2 \pi f T ) ] $ mentre il modo corretto di scrivere H(f) , per avere l’argomento , dovrebbe essere $ e^{-i 2 \pi f T } {1 + 2a cos (2 \pi f T ) } $

[Exodus]

Adesso eseguo la trasformata di Fourier e trovo che $ H(f) = a + e^{-i2 \pi f T } + 2 a e^{ - i 2 \pi f 2T } $

La trasformata che hai fatto ha un $2$ di troppo
Prova cosi:

\(H\left ( \omega \right )=\alpha +e^{-j\omega T}+ \alpha e^{-j\omega 2T}\)

naturalmente \(\omega =2\pi f\)

Poi prosegui con Eulero e compagnia cantante arrivando al tanto sospirato risultato.

[enna]

Adesso eseguo la trasformata di Fourier e trovo che $ H(f) = a + e^{-i2 \pi f T } + 2 a e^{ - i 2 \pi f 2T } $

La trasformata che hai fatto ha un $2$ di troppo
Prova cosi:

\(H\left ( \omega \right )=\alpha +e^{-j\omega T}+ \alpha e^{-j\omega 2T}\)

naturalmente \(\omega =2\pi f\)

Poi prosegui con Eulero e compagnia cantante arrivando al tanto sospirato risultato.

Anche il mio libro mette il “doppio” 2 e mi viene lo stesso risultato, il problema però e’ che lo riscrive in altro modo dopo L’ uguale ed e’ quello il passaggio che non riesco proprio a comprendere

[Exodus]

Che vuoi che ti dica, quella trasformata non è giusta, c'è un 2 di troppo..
Toglilo come ti ho detto e applica Eulero e le sue "metamorfosi" e il
risultato ti verrà esatto

[enna]

Ho realizzato ora che probabilmente ho capito male io quello che intendevi , il due in più che ho sbagliato è quello che ho messo davanti alla a ( in base ) mentre il doppio due ad esponente della e dovrebbe essere giusto. Io ottengo $ H(f) = a + e^{-i w T } + a e^{i w 2 T } $ raccolgo un $ e ^ { i w T } $ ed ottengo , sostituendo l’esponenziale alla forma in seno e coseno $ H(f) = e^{i w T } [ a [ cos ( wT ) + 1 ] - i sen ( w T ) + 1 ] $ non ho proprio idea di dove sia l’errore

[Exodus]

Adesso hai dimenticato un segno nell'esponenziale
Ad ogni modo ti avevo scritto la soluzione giusta di quelle trasformate, evidentemente non l'hai neanche guardata.
Comunque la soluzione del libro è molto antipatica, laboriosa,devo scrivere
molti passaggi, insomma una vera rottura di scatole.....

Allora partiamo da questa prima semplificazione non necessaria ma me piace tanto :

\(H\left ( \omega \right )=\alpha +\left ( 1+\alpha e^{-j\omega T} \right )e^{-j\omega T}\)

Sviluppo i 2 "Euleri"

\(\alpha +\left ( 1+\alpha \cos\left ( \omega T \right )-j\alpha \sin \left ( \omega T \right ) \right )\left ( \cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right ) \right )\)

Eseguo la moltiplicazione :

\(\alpha \left ( \cos^{2} \left ( \omega T \right )-\sin ^{2}\left ( \omega T \right )+1 \right )-j2\alpha \cos \left ( \omega T \right )\sin \left ( \omega T \right )+\cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right )\)

Conviene iniziare a semplificare qualcosa :

\(2\alpha \cos ^{2}\left ( \omega T \right )-j2\alpha \cos \left ( \omega T \right )\sin \left ( \omega T \right )+\cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right )\)

Se sei sopravvissuta fino a questo punto procediamo con qualche raccoglimento:

\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\cos \left ( \omega T \right )-j\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\sin \left ( \omega T \right )\)

Finalmente :

\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\left ( \cos \left ( \omega T \right ) -j\sin \left ( \omega T \right )\right )\)

Ovvero:

\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )e^{-j\omega T}\)



Un paio di considerazioni:
Non sono un matematico, non sono mai andato a scuola, forse qualche matematico troverà una strada più breve, io l'ho sviluppata passo per passo.

Seconda considerazione, quando passi dalle parti di Roma mi offri un aperitivo

[enna]

Grazie mille davvero !!! purtroppo l’avevo letto il tuo post ma probabilmente ero completamente fusa. L’ho letto male e per un giorno e mezzo ho provato a rifarlo usando un suggerimento che non era però quello che tu avevi scritto. Purtroppo sono paralizzata alle gambe e non mi sposto molto ma se passi da Parma te lo offro sicuro sappi però che dovresti sorbirti diverse domande su teoria dei segnali