Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Mephlip » 28/05/2020, 00:55

Come spieghereste intuitivamente a persone che non hanno interessi scientifici ma che si domandano come mai in matematica ci sono determinate regole e non altre?
Per esempio:
1) L'ordine delle operazioni?

Mi viene in mente che se chiedo di andare al supermercato e di comprare $2$ casse di Peroni da $6$ e altre $2$ bottiglie di Peroni a parte, è necessario prima moltiplicare $2\cdot6$ e poi aggiungere $2$ altrimenti i conti non tornano ed è per questo che $2\cdot6+2=12+2=14$ e non è $2\cdot 6+2=2\cdot 8=16$; altri modi per spiegarlo?

2) La presenza di numeri puri nelle equazioni?

È semplice far capire, per esempio, i principi di equivalenza delle equazioni, spiegando che se ho due scatole chiuse ma so che in entrambe ho $8$ pere (quindi le scatole sono "uguali" come strumento per introdurre il concetto stesso di equazione e la pera è la variabile), dividendo le pere all'interno delle due scatole per uno stesso numero (possibilmente $2$, $4$ o $8$ per aumentare la comprensione intuitiva) continua ad essere vero che le scatole sono "uguali"; tuttavia se vogliamo metterci in mezzo i numeri, come spiegare che significa che una scatola ha $8 \text{pere} +1$?

3) La moltiplicazione "ad archetto" $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, a parte corredare con esempi numerici?

Penso solo a ridurre il concetto di moltiplicazione a quello di somma, ma comunque mi porta a dover dire di "sommare $a+b$ volte la quantità $c+d$ che secondo me rimane astratto; quindi tanto vale andarci veramente di esempi numerici se non ci sono altre buone idee.

4) Perché l'area del quadrato è lato per lato?

Si potrebbe impostare immaginando di ricondursi all'idea di moltiplicazione come somma: si pensa che bisogna sommare il lato (pensandolo come spessore infinitesimo) per tutta la lunghezza dell'altro lato (dunque sommarlo, visto che ha spessore infinitesimo, esattamente tante volte quanto è lungo l'altro lato) vedendo l'area come "riempita" da tutti questi lati di spessore infinitesimo e perciò si arriva a lato per lato. Altre idee?

Grazie!
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda mgrau » 28/05/2020, 22:46

Ci provo con il 4. Se hai un quadrato di lato $n$, lo puoi quadrettare in tanti quadratini di lato 1. Quanti sono i quadratini? Su un lato ce n'è una fila di $n$, e ci sono $n$ file sovrapposte. Quindi $n$ volte $n$ quadratini.
Da notare che il lato non è $n$, ma $n * u$, dove $n$ è un numero puro, e $u$ è la lunghezza scelta come unità. Quindi l'area in realtà va scritta $n^2*u^2$, quindi il numero $n^2$ che moltiplica $u^2$, l'area unitaria.
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Meringolo » 30/05/2020, 16:35

Anche la 3) si può spiegare ai ragazzi con un disegnino che secondo me fa capire meglio la formula che invece applicano a memoria.
Se tu hai un quadrato dove un lato è lungo $a+b$ e l'altro lato è lungo $c+d$, l'area di questo quadrato sarà la somma dei quattro quadratini $a\cdot c$, $a\cdot d$, $b\cdot c$, $b\cdot d$.
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Flamber » 30/05/2020, 17:04

Per la 2) non so se il tuo esempio sia molto calzante, l'incognita è il numero di pere, quindi $8*"pere"$ vuol dire 8 volte il numero di pere e non 8 pere.

Secondo me manchi il punto perchè parti dicendo "sappiamo che in entrambe le scatole ci sono 8 pere", e allora che la risolviamo a fare questa equazione? l'incipit, secondo me, deve essere il non sapere quante sono le pere.

Ad esempio:

Gigi va al mercato e compra 8 sacchi di pere (ognuno con $p$ pere all'interno). Tornato a casa lascia i sacchi sul tavolo e va a dormire. Mentre dorme zia Rosetta mette a posto la spesa e al suo risveglio trova 5 sacchi ancora chiusi e 12 pere sfuse sul tavolo. Supponendo che la zia non abbia mangiato o fatto sparire delle pere, quante pere ci sono in ogni sacco?


quindi potresti far vedere che in ogni sacchetto ci sono 4 pere:

$8 * p = 5 * p + 12 $
$3 * p = 12 $
$p = 12/3 = 4$

Poi puoi fare un pò di varianti, immaginare che ci fossero già delle pere a casa, pensare che zia Rosetta si sia abbuffata di pere durante il pisolino, pensare di trovare un sacco mezzo pieno (quindi $p/2$ pere all'interno) etc.

P.S. questo esempio fatto con le casse di Peroni è ancora meglio, ma potrebbe indurre all'alcolismo :D
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda mgrau » 03/06/2020, 09:14

Simpatico l'utente Mephlip, che fa la sua domanda, visita periodicamente il sito, incassa le sue risposte - buone o meno buone che siano - e non si prende nemmeno la briga di dirci crepa... ce ne ricorderemo...
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Mephlip » 04/06/2020, 11:16

@mgrau: Hai assolutamente ragione, mi scuso (con tutti coloro che hanno risposto) per il comportamento irrispettoso; il motivo è che frequento molto meno questa sezione (scrivo quasi esclusivamente in analisi matematica di base) e quindi mi ero poroprio dimenticato di ripassare per questo post. Eviterò che accada nuovamente in futuro.
Riguardo alla tua risposta: mi piace, tuttavia eviterei il caso di $n$ generico per non confondere le idee (vorrei parlare di queste cose soprattutto con "profani" della materia) ma appunto si può tranquillamente passare al caso particolare fissando $n$, quindi grazie!

@Meringolo: Dopo la spiegazione intuitiva della (4), a cui ha risposto mgrau, si potrebbe spiegare come dici tu. Grazie!

@flamber: Forse mi sono espresso male, nella parte in cui dico "sappiamo che in entrambe le scatole ci sono 8 pere" mi riferisco a come si può spiegare facilmente il principio di equivalenza delle equazioni partendo da una equazione vera (appunto quella banale $8p=8p$); non lo intendevo come metodo per spiegare la domanda che ho posto :)
Il tuo esempio comunque va bene, anche se sono dubbioso sul come far distinguere che $+12$ non ha come riferimento le pere, ma è un numero puro; tuttavia credo si possa spiegare semplicemente introducendo che c'è un'unità di misura sottointesa, in questo caso le pere. Grazie!
(Speriamo che non sia così semplice deviare il lettore sulla via dell'alcolismo :-D)
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda mgrau » 04/06/2020, 13:22

Mephlip ha scritto:È semplice far capire, per esempio, i principi di equivalenza delle equazioni, spiegando che se ho due scatole chiuse ma so che in entrambe ho $8$ pere (quindi le scatole sono "uguali" come strumento per introdurre il concetto stesso di equazione e la pera è la variabile), dividendo le pere all'interno delle due scatole per uno stesso numero (possibilmente $2$, $4$ o $8$ per aumentare la comprensione intuitiva) continua ad essere vero che le scatole sono "uguali"; tuttavia se vogliamo metterci in mezzo i numeri, come spiegare che significa che una scatola ha $8 \text{pere} +1$?

Intanto mi scuso per il mio sfogo. Vedevo che visitavi spesso il forum, ma non si vede quale stanza... Facciamo pace :D
Poi, mi capita spesso di dover spiegare ai ragazzi i principi di equivalenza delle equazioni - e, più spesso ancora, mi capita di dover spiegare cosa è una equazione, ma questa è un'altra storia. E' incredibile quale percentuale infima di ragazzi abbia un'idea utilizzabile di una equazione. 10% credo sia ottimistico.
Di solito parto dalla bilancia a due piatti, in equilibrio, e chiedo: quali operazioni possiamo fare che mantengano l'equilibrio? E, se abbiamo per es. 4 pere su un piatto, e 2 melanzane su un altro, non parlo mai di numeri puri, ma dico che possiamo ad es. aggiungere un uovo, non il numero 1, su ogni piatto; e, se le uova già c'erano, possiamo togliere un uovo da ogni piatto.
Così pure possiamo dimezzare, o raddoppiare il contenuto di ogni piatto: qui il 2 è un numero puro, ma è moltiplicato/diviso, quindi sono "volte" e non dovrebbe dare problemi a nessuno.
Alla fine cerco di far passare l'idea che, se hai due cose uguali (e poi, non proprio identiche, ma uguali in peso) se fai la stessa cosa su entrambe continui ad avere cose uguali.
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda gugo82 » 04/06/2020, 15:14

@ mgrau: Calmo, per favore. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Flamber » 05/06/2020, 10:59

Mephlip ha scritto: :)
sono dubbioso sul come far distinguere che $+12$ non ha come riferimento le pere, ma è un numero puro


Beh, se vuoi legare il tuo discorso ad un "esempio pratico" non puoi prescindere dall'uso di una pur elementare unità di misura (le pere ad esempio). Il concetto di numero puro, così com'è, lo puoi introdurre solo a livello puramente matematico, perchè nel mondo reale tutto ciò che misuriamo, dal numero di pere allo sfasamento dei laser al LIGO ha un'unità di misura
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Re: Come spieghereste intuitivamente queste regole?

Messaggioda Mephlip » 05/06/2020, 19:51

@mgrau: Tranquillo, l'importante è chiarirsi! E grazie anche per quest'altro esempio, lo userò sicuramente in futuro1

@flamber: Sì, in effetti forse la difficoltà espressiva nasce dal fatto che non sono proprio conciliabili. Grazie!
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