Equazione differenziale

[Daken97]

Salve ragazzi. Potete cortesemente verificare (non risolvere) che la soluzione dell'equazione differenziale $ y'=(x^2+x+1)e^y $ sia $ y(x)=-log(-x^3/3-x^2/2-x+c) $ ? Non so dove (e se) sbaglio, ma i conti non mi tornano, e l'esercizio svolto dal libro mi sembra corretto.

[Mephlip]

Sì, è corretta. Prova a postare i conti, se ti va, e li controlliamo.

[Daken97]

Sì, è corretta. Prova a postare i conti, se ti va, e li controlliamo.

$ y'=-(6x^2+6x+6)/(2x^3+3x^2+6x $

$ e^y=e^-log(-x^3/3-x^2/2-x)=e^log(-3/x^3-2/x^2-1/x)=-3/x^3-2/x^2-1/x $

Il prodotto fra $ (x^2+x+1) $ e $ e^y $ , non mi risulta che torni $ y' $ , ergo o ho sbagliato qualche conto, oppure non ho capito come andrebbe effettuata la verifica.

[Mephlip]

Hai fatto un errore qui:

$e^-log(-x^3/3-x^2/2-x)=e^log(-3/x^3-2/x^2-1/x)$

È $e^{-\ln(a+b)}=e^{\ln(a+b)^{-1}}=e^{\ln \frac{1}{a+b}}$, è invece sbagliato $e^{-\ln(a+b)}=e^{\ln(a^{-1}+b^{-1})}=e^{\ln\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}$.

[Daken97]

Hai fatto un errore qui:

$e^-log(-x^3/3-x^2/2-x)=e^log(-3/x^3-2/x^2-1/x)$

È $e^{-\ln(a+b)}=e^{\ln(a+b)^{-1}}=e^{\ln \frac{1}{a+b}}$, è invece sbagliato $e^{-\ln(a+b)}=e^{\ln(a^{-1}+b^{-1})}=e^{\ln\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}$.

Sì, è la stessa cosa che ho notato in questi minuti. Ogni tanto ho delle amnesie, ma per fortuna mi sono sempre state utili per non ripeterle in altri contesti. Comunque, grazie mille Mephlip!